노군의 수학 중독기

루저를 위한 수학

전통적으로 우리 여성들의 남성들을 이렇게 위로했습니다.

“외모가 뭐가 중요해 속이 좋아야지!”

동학 농민 운동의 실패 이유

그러나....

루저 논란이 일어난 후로 수많은 남성들은 좌절에 빠지게 되었습니다.

그 기준에 미치지 못함에 한번 슬퍼하고 그것을 노력으로 극복할 수 없음에 더 슬퍼집니다.

이 가슴 아픈 현실에서  우리가 벗어날 곳이 어디인가요..

깔창으로 해결하기에는 그 높이는 백두산 보다 높고 그에 대한 인식은 처절하기만 합니다.

뭐 그렇다고 지금 위너를 욕하겠단 생각은 아니고

수학적으로 보았을 때 과연 크기가 그렇게 중요한 것인가 하는 것에 집중하고 싶습니다.

과연 180이 170보다 혹은 160보다 중요하다고 생각을 갖는 것이 정당할까요?

나는 몇 가지 수학으로 나를 비롯한 루저들을 위로하고 싶습니다.

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1. 집합에서의 위로 - 일단은 밀도이다!

집합을 다루면서 이전에 무한개라는 것을 다루었습니다.(근거는 클릭)

그것 중 가장 주목할 만한 몇 가지를 꺼내오면

바로 실수라는 공간을 나누는 양대산맥 유리수와 무리수 입이다.

참고로,

유리수 - 정수/정수꼴이고 분모가 0이 아닌 집단

무리수 - 실수에서 유리수 외의 것

인데

둘의 개수는 둘 다 무한개 이고

크기 또한 위로나 아래로나 끝이 없는 것을 보면

그 둘은 왠지 같아 보이기도 합니다.

그러나

유리수는 꽉 차 보이지만 그 개수는 결국 자연수와 개수가 같고(이유는 클릭)

무리수는 유리수과 같아 보이지만 실제 개수는 실수와 같습니다.(이유는 클릭)

(자세한 이야기는 생략하겠습니다.)

크기의 의미가 무시된 채 밀도의 차이가 있을 때

그 차이는 작을 것처럼 여겨지나 그 결과는 끝없이 큽니다.

중요한 것은 밀도이다.

다음은 제 친구의 트위터 글이였습니다.

-------------------twitter @HansHoon ------------------------

가끔 말이야.

세계의 무한한 광대함이 느껴져서

내가 한없이 작아지듯 압도당할 때가 있어.

그러다 내 안으로 눈을 돌리곤 깜짝 놀라지.

방금 그 무한한 우주를 지어낸 건 내 마음이었거든

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친구는 어찌하며 마음속에 우주를 담을 수 있을까요?

이를 수학적으로 그리고 밀도의 의미로 다가보기 위해

먼저 마음속에 우주를 그려넣는 방법을 보겠습니다.

광활한 우주를 내 마음속의 “한 곳에 대응^[각주:1]”시킵니다.

그럼 그 우주는 내 마음속에서 하나의 “이미지”가 됩니다.

어디서 많이 본 이름들이 보인다.

바로 “일대일 함수”의 방법입니다.(의미 클릭)

자 우주는 3차원으로 직접표현하기 어려우니 이렇게 바꾸어보겠습니다.

(0,1)로도 밀도가 있다면 전체를 채울 수 있다.

신기하게도 이것은 “참”입니다.

여기서 직접 증명하는 것은 좀 번거롭고 위의 그래프 하나로 대체하겠습니다.

보자. 모든 실수가 하나하나 빠짐 없이 (0,1)구간에 일대일대응 되었습니다.

이는 모두 빠짐없이 서로 같은 개수란 뜻입니다.

똑같이 삼차원의 원을 마음속에 채우면

그 곳에 우리는 무한하나 우주를 채울 수 있죠.

그 우주는 거짓이 아니라 실제 우주에 대응된 소우주인 것입니다.

이게 바로 밀도의 중요한 의미가 될 수 있습니다.

강한 밀도는 모든 것을 담을 수 있게 합니다.

유리수와 무리수 이야기로 돌아가면 그 둘은 쌍둥이 같지만

밀도로 인해

듬성듬성하게 분해되어져 버리는 유리수는 세상을 채우지 못하고

밀도가 꽉찬 무리수는 세상을 채웁니다.

2. 위상에서의 위로 - 모양이 그렇게 중요한 것인가?

하지만 밀도가 꽉찬 남자라도 위로가 모자랄 수 있습니다.

저는 이제 일대일 대응을 통해 크기의 자유를 얻었어도

모양의 자유를 얻지 못하였습다.

우리는 키의 문제를 넘어서면

얼굴 모양의 문제를 맞이하게 됩니다.

서글프죠.

크기의 문제를 키 뿐만이 아니라는 것을 느끼게 됩니다.

무슨 눈꺼플이 뒤집힌 눈이며 입술의 두께며 코의 높이며..

이로써 첫 번째 위로로는 다 채우지 못함을 알게됩니다.

그렇다고 포기하기 이르죠.

이번의 위로자는  “위상수학”입이다

우리는 얼굴의 모양에 좌절하거나 우월감을 갖는다.

음.. 고등학교과정에서도 언급되지 않는

이 위상수학은 수학의 모든 산술적인 부분을 모두 빼고

구조적인 부분만 남긴 조금은 유별난 수학분야입니다.

처음부터 언급하기에는 이곳의 공간이 너무 비좁으니

하고 싶은 이야기만 꺼내어보면

바로 이해하기 어려우니 예를 들어보면

우리가 꽉찬 속을 가진 고무공을 생각해보겠습니다.

근데 이 고무공이 엄청난 탄력과 수축성을 가졌다고 생각했을 때,

고무공을 크게 늘린 다음 그 표면을

지구처럼 울퉁불퉁하게 만들면 그 모양은 지구가 되어버립니다.

크기나 기본적인 모양이 달라도 같을 수 있다.

또 만약에 더 키우면 태양도 만들 수 있다.

그것만이 아니다. 잘 주무르면 접시가 될 수도 있고 아령 모양으로 만들 수 있습니다.

또한 잘 각지게 하면 주사위가 될 수 도 있죠.

(이 점은 최근에 정확하게 증명된 점입니다.)

이렇게 같은 것으로 만들 수 있는 것을 위상동형 즉, 위상(수학)적으로 같은 것이라 하는 것이다 라고 합니다.

또 다른 예를 들면,

둘은 위상적으로 동형이다

우리의 도넛을 잘 주무르면 커피잔을 만들 수 있으니

그럼 도넛 - 커피잔은 위상이란 세계에서는 같은 것입니다.

이렇게 수학에서 보면 세세한 모양이 어떻든 그건 문제 될 것 없습니다.

다 같은 것이 되는 것이죠.

그것 바로 Hole(구멍)의 개수이다.

잘 보면 처음 예의 고무공으로 도넛을 만들 수 는 없습니다.

그 이유는 Hole의 개수가 달라서 그런 것입니다.

즉,

같은 Hole의 개수를 가지고 있다면 우리는 위상적으로 동일하다는 것이다.

그냥 그렇다는 것임...=_=;; 수학적으로... 쩝..

이를 근거로 인간은 같은 Hole의 개수를 가지고 있다는 가정하에서

위험한 추측하나를 해보자면,

아저씨의 원빈이나 저나 이글을 읽고 있는모두가 위상적으로 동일합니다.

다시 말하자면 우리는 모두 원빈 혹은 아이유와 위상적으로 동일합니다.

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3. 밀도의 의미는 크기의 의미 보다 크다.

크기랑 어떤 수치의 의미가  됩니다.

수의 의미에서 순서의 차이가 있을 순 있으나

정말 의미의 영역으로 들어가면 그 의미가 적을 수 밖에 없죠.

과연 우리는 170과 180이란 것에서

숫자 크기로서의 170 < 180 이란 것 외의 어떤 의미를 더 찾을 수 있나요?

하지만 우리는 모두 위상적으로 동일하다.

그리고 속이 꽉 찬 우리는 존재하는 무엇과도 대등하죠.

정말 루저를 말하기에 수치적인 해석은 바르지 못한 것 같습니다.

진정한 의미의 루저는 그 밀도가 없는 것입니다.

그래서 저를 포한함해서 논란 되는 180cm이하의 루저를 응원합니다.

이 사람들도 루저? 세상을 다르게 보자!

그리고 그 보다더 위로하고 싶은 것은 오늘도 밤을 지새우는 학생들에게 위로합니다.

“점수의 크기에 연연하지 말아야 합니다.

중요한 것은 밀도이다.

그러니까 이런 꿈을 꾸어야 합니다. 그리고 세상을 담는 그릇이 되는 것."

친구의 트윗 마지막 말로 마무리 하고 싶습니다.

방금 그 무한한 우주를 지어낸 건 내 마음이었거든