노군의 수학 중독기

우리는 무한의 끝의 유무(글 링크)를 알아보기 위해서 그리고 칸토어의 정리(글 링크)를 해결하기 위해서
멱집합이란 개념을 썼습니다.

정확한 정의는 다음과 같습니다.



예를 들자면
A={1,2}라고 하면
A의 부분 집합들은  φ, {1}, {2}, {1,2} 이렇게 4개 나옵니다.
이 부분 집합들을 다시 집합으로 묶습니다.
P(A) = {  φ, {1}, {2}, {1,2}  }
따라서 집합의 집합이 되는 것입니다.


--------------------유한집합의 멱집합 원소의 개수---------------------------

멱집합 원소의 개수는 원래 집합의 개수의 원소에 따라 다릅니다.

위의 예 같은 경우에는 A의 원소의 개수가 2개 이므로
P(A)의 개수는 2의 제곱 즉 2 × 2 = 4개가 되는 것입니다.

간단히 그 이유를 설명하자면

A의 어떤 부분 집합을 만들때
각 원소에 대해서 그 원소가 들어갈 수 있는 경우의 부분집합과
그 원소가 들어가지 않는 부분집합

이렇게 원소마다 부분집합에 대한 2가지 경우의 수가 생기고
각 사건이 독립적이므로 각 원소의 수만큼 곱합니다.

--------------------------무한 집합의 멱집합-------------------------------

무한집합의 멱집합 역시 같은 원리이며  원소의 개수 또한 2의 제곱으로 표현합니다.
무한집합에서는 실제로 2의 제곱수라기 보다는

멱집합이라는 의미적인 표현이라 볼 수 있습니다.

또한 그래서 A의 멱집합이라는 표현은
P(A)대신에 로 쓰기도 한다.

-----------------------칸토르 정리------------------------------------

무한 집합에서는 진부분집합(자신이 아닌 부분 집합)이라 하더라도
원소의 개수가 동일 할 수 있습니다.(사실 이것이 무한 집합의 정의이기도 하다.)

예를 들어 자연수의 개수와 짝수의 개수는 같습니다.
(다른예: 힐베르트 호텔(링크), 자연수와 짝수와의 개수 비교(링크)

하지만 멱집합은 무조건 원래의 집합보다 개수가 많아집니다.
이는 무한집합이더라도 동일하게 적용됩니다.

이를 칸토르 정리라고 합니다.

이에 대한 자세한 이야기는 집합 글(여기 클릭), 그리고 이에대한 증명은 다른글(클릭)에서 확인할 수 있습니다.

제논의 역설 제거를 위해 미리 보는 등비수열의 무한합이 필요합니다.
개념은 이곳을!  제논의 역설은 이곳을! 를 클릭하시기 바랍니다.

이해는 쉽지만 설명하기 어려운 등비수열의 개념이 필요하기에
제논의 역설이 왜 이렇게 오랫동안 사람의 마음을 가지고 장난을 쳤는지 알 것 같습니다.
각설하고! 이제 제논의 역설을 풀어낼 마지막 공식들을 정리하겠습니다.

1. 등비수열의 합(유한번)
첫번째 항이 a이고 일정하게 곱해지는 값(공비)를 r이라 하고
첫번째항부터 n번째항 까지 더한 것을 X라고 하면
딱, 하나의 조건 r=1을 제외하면
  X-rX를 해보면 다음과 같은 결과가 나옵니다.




조금은 복잡하지만 천천히 뺄셈만 잘 보면 고등학교 수준입니다.

다시 정리하자면
등비수열이란 것이 1번 부터 n번까지 더하면 저런 모양입니다.

예를 들어보자면

첫번째가 3이고 일정하게 곱해지는 값이 2일떄
100번째까지 다 더해보면

입니다
(계산은 집에서 천천히..2의 100제곱 구하기 어려우니 값을 보고 싶으시면 상용로그 이용을 추천합니다;;)



2. 워밍업 에서 n의 값이 커진다면


r>1이라면 제곱 몇번 해보면 알겠지만 은 자꾸 자꾸 커져 무한대 까지 갑니다.
r=-1이라면 제곱을 할때마다 의 값은 1과 -1의 반복입니다.
r<-1이라면 제곱을 할때마다 의 값은 양수와 음수를 반복하며 그 절댓값이 더 커집니다.

그런데 0<r<1일경우를 보자!!
의 값은 음수든 양수든 점점 작아지는 계속 나아 갈수록 0에 가까워집니다.

r=1인 경우는 당연히 1입니다.

3. 멀리 왔지만 이제 다시 다 다가온 등비수열의 무한 합

만약에 0<r<1가 아닌 경우에는
의 값이 일정하지 않거나(r=-1, r<-1) 너무 커져서 합(r=1, r>1)을 구할 수 가 없습니다.


그래서 의 값이 0이 되는 0<r<1 의 경우에서만 합의 값을 구할 수 있고
가 됩니다.(a는 첫번째 값!, r은 일정하게 곱해지는 값!)

이것은 제논의 역설-아르키메데스와 거북이의 달리기(클릭)에 적용하자면
처음 거리는 10m 그리고 항상 일정하게 곱해지는 값 1/10이 적용되어 계산됩니다.

제논의 역설 중에 나왔던 무한합
상당히 개념이 어려웁기에 여기서 조금 수학적으로 다가서 보겠습니다.
(사실 다음에 기초개념이 많이 필요하나 간단히 접어두고 간단히(?) 보면)

1. 수열이란?
간단히 말해서 수을 하나씩 나열 하는 것을 의미합니다..
1, 2, 3, 4
이것도 수열이고
3,1,4,2,5,2
이것도 수열이다 어떤 규칙이 없더라고 수 배열을 수열이라 합니다.



2. 등비수열이란!?
아무렇게나 만들어진 수열은 조금 재미없기 때문에
그중에서 어떤 규칙성이 있는 수열을 뽑아 쓰곤 하는데
가장 많이 쓰이는 수열중 하나가 이 등비수열입니다.

말 그대로 해석 하면
(등=같은) (비=비율이) 수열이입니다.

다시말해서 어떤 값으로 시작해서 처음값에 일정하게 어떤 값을 곱해 나가는 으로

예를 들면
처음이 3이고 곱해지는 일정한 값을 2라 했을 때의 등비수열은


가 됩니다.

보통 첫항은 a로 쓰며
동일하게 곱해지는 값은 r로 씁니다.
그래서 다음과 같이 보통 포현된다.





3. 등비수열이 뭐가 중요하냐고요?
중요한 점은 여러군데 있습니다.
보통 수열을 쓰는 이유 중에 하나가 어떤 변수의 변화를 쉽게 파악하고
그 안에서 여러가지 의미를 찾으려 하는 것입니다.

그런데 우리의 대부분의 현상에는 이런 등비가 많이 있죠.
몇가지 예를 들자면
은행의 이자는 바로 이 등비수열이 모델이 됩니다.
또한 도자기등 문화재의 생산년도를 파악하는 탄소연대측정법도 이 등비수열입니다.

그런데 오늘 여기에 관심을 둘 것은 바로 이 등비수열이
무한개의 항을 더해도 수렴하는 경우가 생긴다는 것입니다.

(모든 등비수열이 수렴한다는 뜻은 아닙니다.)

뭐 다른 어떤 수열도 그런 경우가 있지만
쓰임이 많으면서도 무한히 더해도 유한한 값이 나오는 경우가 있다는 것은 큰 의미가 있습니다.

다음 클릭하면 글이 이어집니다.

이 증명의 배경 지식이나 이야기는 여기를 클릭하시면 이야기를 읽으실 수 있습니다.

증명

a. 공집합인 경우에는 φ의 원소의 개수는 0개이고 P(φ)={φ}이므로 개수가 1이다.

따라서 성립합다.

b. A가 공집합이 아니라고 하자.

당연히 P(A)는 A보다 개수가 많거나 같다(무한일 때를 고려해서)

그럼 여기서 개수가 같지만 않음을 보이면 된다.

만약 둘의 개수가 같다고 가정하자.(나중에 모순을 보일 것임)

그럼

P(A)와 P가 일대일 대응이다.

이 대응을 함수 f라고 하자.

그럼 f(x)는 P(A)의 원소로 A의 부분집합이 된다.(주의 f(x)는 집합이다.)

집합 S={x∈A│x ∉ f(x)}라고 하자.

즉 x의 원소인데 일대일 대응으로 보내면

대응되는 결과(A의 어떤 부분집합)에 x가 들어가지 않는다.

그런데 S도 P(A)의 원소 이므로 어떤 원소 e가 존재해서

f(e)=S이다.

그런데 이 e가 문제이다.

e는 S의 원소이거나 아니거나 둘 중에 하나다

(case 1) e∈S

S의 정의에 따라서 e∉f(e)

한편 f(e)=S이고 e∈S이므로 e∈f(e)이다

이것은 모순이다

(case 2) e∉S

S의 정의에 따라서 e∈f(e)

한편 f(e)=S이므로 e∉f(e)이다.

이것은 모순이다.

case 1,2 모두 모순이므로

처음에 가정한 A와 P(A)의 개수가 같다는 가정은 틀렸다!

따라서 P(A)는 항상 A보다 개수가 많다.

제2차 포에니 전쟁 와중에 시라쿠사를 함락한 로마군 병사가 그를 알아보지 못하고 죽여버렸다. 도시가 함락되는 와중에도 수학문제 풀이에 골몰하고 있었던 것으로 알려졌다.

고대 그리스 최대의 수학자, 물리학자. 인류 역사상 가장 위대한 과학자. 아르키메데스는 고대 그리스의 위대한 수학자요, 기술자인 동시에 발명가였다. 그는 이탈리아 시칠리아섬 동남 연안에 있는 항구 도시인 시라쿠사에서 태어났다. 아르키메데스는 시라쿠사의 왕인 히에론 2세의 가까운 친척이었다. 그의 아버지는 천문학자였기 때문에 아르키메데스는 어렸을 때부터 천문관측을 배우게 되었다. 아르키메데스는 당시 가장 높은 수준의 수학과 물리학을 가르치는 이집트 알렉산드리아의 왕립학교에서 공부했으며 코논의 수제자였다.학교를 졸업하고 귀국한 아르키메데스는이론을 실용화 하고 응용하는데 천부적인 재능을 발휘했다. 아르키메데스는 기원전 287년부터 212년까지 생존하였다고 알려져 있는데, 플루타크의 영웅전에 나와 있는 그의 최후는 매우 유명하다. 제2차 포에니 전쟁이 한참인 즈음, 로마 함대는 아르케메데스가 살고 있는 작은 도시 시라쿠사를 공격했다. 로마군의 지휘관 마르켈루스는 여덟 척의 군함을 연결하여 그 위에 높다란 하프형의 대를 만들어 대포를 설치하였다. 자만심에 들뜬 마르켈루스는 자신들의 명성만으로도, 많은 배를 보기만 하여도 시라쿠사인들이 항복하리라고 생각하였다. 그러나 시라쿠사인들은 아르키메데스가 만들어 낸 거대한 투석기로 몇 톤이 넘는 돌을 연이어 쏘아 로마군의 배를 파괴하였다. 또, 기다랗게 생긴 기중기와 쇠로 된 갈고리로 성벽 너머에 가까이 오는 배를 잡아 휘둘러서 바윗돌에 던져 가루로 만들어 버리거나 침몰하게 하였다. 그 후 정면 공격을 단념한 로마군은 배후에서 시라쿠사로 쳐들어왔다. 여신 아르케미스의 축제일에. 시라쿠사인들은 술에 취해 있었다. 이와중에 아르키메데스는 땅에 원을 그리며 생각에 잠겨 있었다. 이때, 로마의 병사 하나가 뛰어들어 그가 모래판에 그려놓은 도형을 밟고 지나가려 하자 아르키메데스는 "이 그림을 밟지마라!"고 호통을 쳤다. 무식한 병사가 이 위대한 과학자의 마음을 헤아릴 턱이 없었다. "여기가 어딘지도 모르고"라는 말과 동시에 오랜 전쟁에서 거칠어질 대로 거칠어진 이 로마 병사는 아르키메데스를 단칼에 썰어죽이고 말았다. 위대한 아르키메데스를 진심으로 존경하고 있었던 침략군의 사령관 마르켈루스는 나중에야 이 사실을 알고 몹시 가슴이 아팠다. 그리하여 고인의 위대한 업적을 길이 빛내기 위해 원기둥에 구가 내접하도록 새긴 묘비를 세웠다. 아르키메데스는 이 기하학적 그림에 내포되어 있는 매우 아름다운 수학적 조화를 발견하고 늘 자신이 죽으면 그것으로 묘비를 삼아 줄 것을 가족들에게 부탁하고 있었던 사실을 사령관이 전해 들었던 것이다. 이것은 그가 구의 체적은 외접하는 원주의 체적의 3분의 2에 해당된다는 자신의 발견을 얼마나 높이 평가하고 있었는가를 말해 주고 있다.

부력의 발견 [편집]

아르키메데스는 천문학자 피라쿠스의 아들이었다. 그가 이집트로 유학을 갔다가 돌아와서 피라쿠스가 왕에게 아르키메데스를 인사시키러 갔다. 그 때, 왕은 새로 만든 왕관이 순금으로 만들어졌는지, 아니면 다른 물질과 섞였는지 궁금해하던 참이었다. 왕의 이 문제를 풀어달라고 아르키메데스에게 부탁을 하자, 아르키메데스는 하루나 이틀 동안 시간을 요청했다. 피라쿠스가 고민 중인 아르키메데스에게 목욕이나 하러 가자해서 그들은 목욕탕에 갔고, 아르키메데스는 목욕탕 속에 들어갔다. 그러다가 아버지의 목욕탕 물은 넘치지 않는데, 자기의 목욕탕물은 넘치는 것을 보고, 갑자기 어떤 생각이 든 아르키메데스는 유레카("알았다" 뜻의 그리스어)를 외치면서 몸으로 밖으로 뛰어나갔다. 거리에 있던 사람들은 아르키메데스를 보고 정신병자라고 놀렸지만, 아르키메데스는 듣지 못했다. 문제를 풀 방법을 찾았기 때문이었다. 왕에게 간 아르키메데스는 물이 다 차 있는 그릇에 왕관을 넣었다. 그리고 같은 크기의 그릇에 물을 가득 붓고 왕관과 같은 무게의 순금 금화를 넣었다. 각 그릇에서 흘러나온 물의 양이 같은 것을 왕관과 순금 금화가 중량과 부피가 일치하기 때문에 내부적으로도 같은 물질로 만들어졌을 것이라는 것을 추론해 냈다