노군의 수학 중독기

우리가 집합을 종종 펼쳐보다보면 조금 답답한 면이 있습니다.
집합의 정의 자체 부터.. 비유하자면 약간 파시즘적이죠.
소속을 명확하고 정확하게 해야지만 그 소속에 들어갈 수 있죠.

다시 말하자면 "너무 엄격함"입니다..

----------------------불완전한 소속-----------------------------

다시 집합이야기로 들어가면
집합에서는 그 집합의 정의에 완벽하게 부합하는 소속원 또는 완벽한 배제만을 원합니다.
그러니 집합은 까다롭기만 합니다.

그런데 이런 것들은 세상의 많은 일을 포용하기에는 반대로 나약합니다.

예를 들어 보자
집합을 "자신이 키가 크다고 생각하는 사람들의 키"라고 하면

이런건 집합에서는 다룰수 없는 것입니다.

결국 버려버리고 마는 집합입니다.
분명한것은 자신이 크다고 생각하는 사람이 분명 존재하고
그런 사람들의 키 또한 분명 존재한다는 것입니다.

또한 다른 예로
"예쁜 꽃들의 모임"이라 생각해보면
대부분의 수학자는 이런 집합에 대답조차 않하겠지만
분명히 이런 꽃들은 누구에게나 존재합니다.

다만 단지 100%동의 하는 것은 존재할 수 없습니다.

누군가에게는 사랑이나 미학의 징표겠지만

누군가에게는 상처나 자본의 징표일 수 있기 때문입니다.

다시 말하면 두 모임은 정확하게는 수학에서 말하는 집합에서 제외됩니다.
수학적 파시즘적에 반하기 때문이다.
하지만 우리가 이런 모임들을 수학적 인식에서 지워야 한다면
너무 삶이 심심하고 수학은 또 그 삶과 너무 떨어져버릴것 같습니다.

이런 실정에서 엄격함의 수학이
실생활에 아니 혹은 인간적임에 손을 내민 이론이 필요하게 됩니다.

---------------------- 완벽하지 않은 집합 ------------------------

말로 하는 것보다
예를 들어보겠습니다.

A = {"자신이 키가 크다 라고 생각하는 사람들의 키"}라는 모임을 만들고
(당연히 수학적인 집합이 아닙니다.)

키가 180cm인 모든 위너를 다 납치해와서 물어봤더니
전체의 90%가 자신의 키가 크다 했다합니다.(쳇..)
또한
170cm인 분들을 모셔와서 자신의 키가 크다고 생각하는지 물어봤더니
그랬더니 전체의 20%가 자신의 키가 큰편이다 라고 했습니다.

이때 이렇게 생각보는 겁니다.
180은 90%가 A란 집합에 들어간다~!
170의 20%가 A란 집합에 들어간다~!
이렇게 집합의 소속을 통계적(혹은 수학적) 확률로 나타내는 것입니다.
근데 %로 쓰는 것은 단위상 문제가 되므로
1을 100%로 계산해서
90%는 0.9로, 20%를 0.2로 환산합니다.

이렇게 정의해 놓고 이제 포함 관계를 이렇게 이야기 합니다.

180이란 원소는 A에 0.9만큼의 원소이고

170이란 원소는 A에 0.2만큼의 원소가 되는 것입니다.

이런 포함관계를 갖는 집합을 퍼지집합이라고 합니다.

사실 퍼지이론을 수학적으로 싫어하는 사람도 많지만
현재 퍼지이론도 수학의 영역으로 보는 사람이 더 많습니다.
(왠지 이것도 퍼지 집합 같네요.)

-------------------------퍼지집합 의미---------------------------

수학에서는 엄격함으로 모든 것을 채워가려는 시도를 했고
그에 따라 어쩜 그 엄격함은 시대의 요구였을 것입니다.
완벽한 판단력으로 어떤 기본적이고 유일한 하나의 정의 혹은 신앙을 향했으며
그들은 수학을 통해서 그들의 삶과 올바른 길을 증명하려 했습니다.

그 속에서 다양함에 대한 이론들이 꿈틀거리고 상대주의의 역활이 커지기 시작했고
그러다 결국 지금은 불완전한 것들로 둘러쌓이게 되었습니다..
결국 지금은 불완전이란 것에 대한 수학이 요구되었고
그 수학중 하나가 바로 이 퍼지 집합으로 볼 수 있습니다.

인간은 기본적으로 불완전합니다.
이 인간의 기본인 불완전함을 이제 수학이 대처하려하는 것으로도 볼 수 있습니다.
모더니즘에서는 인간이 0,1로 제어되는 기계에 맞추어지는 시대라면
포스트모더니즘이라 불리는 지금은 도리어 기계속에 인간의 요소를 삽입하는 것이지요.
교통, 시스템제어, 재고관리. 많은 전자제품등에 이제는 인간의 마음이 개입되어있지 않은 것이 없습니다.
따라서 불완전한 인간을 대표하는 퍼지이론은
완벽한 논리가 필요한 많은 분야에 퍼지고 있는 실정입니다.

그러고 보면
오히려 지금 같이 불확실한 시대에 엄격함은 인식의 도피처일지도 모르겠습니다.

이제 무한 이야기를 잠시 벗어나서 집합론의 문제들을 더 살펴보겠습니다.

칸토르(칸토어)가 집합론이라는 거대한 작업을 마칠때쯤(어짜피 그 시대에는 큰 인정은 없었지만)
러셀의 편지를 받게 됩니다.
어떤 연구이든 가장 절망스러운 것이 이룩할때 쯔음에 나오는 반론과 역설들입니다.

칸토어 역시 편지 한장에 절망감을 느끼게 됩니다.

그 내용은

사람들은 집합이란 단어를 '모임'으로 생각하기 때문에
"모든 집합들을 모아 놓은 집합"도 자연스레 상상하게 됩니다.
자연스러운 이 단어가  왜 문제가 되는 것일까요.

그 문제는

다음 이야기에서 나타납니다.

-------------------------이발사의 역리(러셀의 역리)------------------------

세빌리아(지명이름)의 이발사는 자신의 상점 입구에 이렇게 크게 써 놓았습니다.

멋진 한마디입니다.

즉, 나는 스스로 면도하지 않는 사람을 면도하겠다는 설명입니다.

그런데 문제는 세빌리아의 다른 사람들이 아닌 자기 자신입니다.

이발사 스스로의  면도는 누가 해야 할까요?

먼저 자기 자신이 면도를 한다면 스스로 면도하는 사람이므로

팻말에 적혀있는 스스로 면도하지 않는 사람에 포함될 수 없습니다.

그러므로 이발사는 자신을 면도할 수 없습니다.

또한 다른 사람이 자신을 면도 한다면 이발사 자신은
팻말에 적혀있는 스스로 면도하지 않는 사람입니다.
따라서 스스로 면도를 해야 합니다.

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말의 의도는
세릴리아의 스스로 면도하지 않는 사람을 면도 하는 사람
이란 자신의 처지가 자신에게 속하는가 속하지 않는가 입니다.
자신자체가 들어가야 할 곳이 어디인가라는 것입니다.

러셀은 이런 역리를 구체화한 집합과 질문을 던진다

이 집합에는 자기 자신이 포함될수도 포함되지 않을 수도 없는 일이 벌어집니다.

전형적인 모순입니다.

이발사의 역리로 시작한 이 질문은 집합론계의 아주 큰 파장을 불러일으켰습니다.
참고로 이와 같은 의미의 유명한 역설인 에우블리데스의 명제"내가 지금 말하는 명제는 거짓이다"
그리고 크레타섬의 거짓말쟁이의 역설"이섬의 사람들은 다 거짓말 쟁이다"와 일치합니다.

당시 집합론을 이야기 하는 수학자의 기본적인 믿음에 대못을 박은 이 논쟁은
결국에는 <모든 집합의 집합>이 존재하지 않음으로 결론을 냅니다.
그리고 이 논쟁을 통해서 소위 논리주의, 직관주의, 형식주의의 이 세가지의 사조가 나타나면서

급 혼란기를 맞이합니다.(자세한 것은 심화 메뉴를 통해서 알아보도록 하겠습니다.)

------------------------- 결  언 ------------------------------

우리가 어떤 것을 감각적으로 이해하고 의견을 수렴하는 일은
자신도 모르는 기초 사고에 지배당하게 됩니다.

집합론도 마찬가지입니다.
우리가 쉽게 이해할 수 있는 집합론이지만
웃으며 지나가기에는 많은 역설과 모순이 난무하게 됩니다.

<러셀의 역리>라는 홍역을 치룬 집합론은
제대로된 공리계를 세워 집합론을 방어해 나가야 할 필요성이 생겼고
대학수준의 이야기이지만
현제는 ZFC공리계라고 부르는
체르멜로-프란켈 집합론이라 하여 몇 가지 공리를 기반으로 한 집합론을 세웠습니다.

- 추가 적인 집합론의 역설 -
리차디언의 역설
부랄리-포르티 역설

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집합론이란 것으로 무한에 하나의 깃발을 세웠고
또한 집합론을 통해 많은 수학들이 피어나게 되었습니다.

많은 역리와 반발 속에서 꽃피우게된 집합론은
전공수학의 맨 처음을 장식하게되는 영광까지도 얻었죠.

불완전하고 감각적인 수학의 뿌리이지만(괴델의 불완전성의 원리)

집합론은 그 불완전속의 구조적이고 합리적인 사고로 부터 우리는 완벽함을 추구하고자 합니다.

불안함속의 완고한 한마디로 이 장을 마치겠습니다.

이전에 무한 집합에서 가장 큰 무한집합이란 존재하지 않는다고 이야기 하였습니다,
무한이 끝이 없음을 결론짓게 했던 일등공신

멱집합!

이 멱집합을 통해서 우리는
우리가 A란 집합을 가지고 P(A)란 더 큰집합을 만들었습니다.
A란 집합이 무한이라고 하더라도 성립합을 알았습니다.
(칸토어 정리 링크)

우리가 계속 무한에서 놀았으니 무한에서의 몇가지 의문을 계속 가져보겠습니다.

1. 무한중에 가장 작은 무한은?
2. 무한의 순서라는 것이 있을까?


자 그럼 1번부터 한번 이야기 해보겠습니다.

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1. 무한중에 가장 작은 무한은?

가장 작은 무한

무한 중에서 어쩜 가장 상상하기 편한 수가 될 것입니다.

다들 예상하시는 대로, 자연수입니다.

수식 적용이 어려우므로 한글파일을 본떠 붙이겠습니다.



결론이 조금 쉽게 났습니다.
어떤 무한이든 무한인 것에서 하나씩 뽑아 원소를 나열할 수 있고

그건 자연스럽게 자연수와 대응되게 할 수 있습니다.
따라서 결론을 다시쓰면

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2. 그럼 자연수 개수 다음 무한은? 그리고 무한의 순서는?

결국 자연수가 가장 작은 무한이었습니다.
우리는 집합 4장에서 자연수보다 실수가 더 많음을 알 수가 있었고
5장에서는 멱집합을 이용하면 더 많은 개수의 집합을 만들 수 있음을 알 수 있었습니다.

 하지만 신기하게!
자연수의 멱집합은 실수와 같은 개수입니다.
(증명은 나중에 링크 걸어드리고^^ 좀 복잡해서)

여튼 그러다 보니 칸토어 정리를 생각하게 됩니다.
멱집합은 혹시 무한집합을 줄세우게 할 중요한 요소는 아닐까요?

1번 무한이 자연수라면
2번 무한이 실수 즉 자연수의 멱집합
그리고 3번 무한이 실수의 멱집합(즉 자연수의 멱집합의 멱집합)
이렇게.. 이렇게 무한이 일렬로  세울 수 있을까요?

이 문제에 대해서
칸토어가 제시한 것은 다음과 같습니다.

즉 위에서 말한 것과 같이
X란 무한 다음 무한은 무조건 P(X)가 되어야 한다.라는 생각입니다.

아쉽게도 칸토어의 머리에서도
그리고 어떤 수학자의 머리에서도 이 문제가 풀리지 않게됩니다.

그리서 이 명제는 "가설"로 남게 되는데

수학에서 유명한 "일반 연속체 가설" 이라고 부릅니다.
힐베르트는 이것을 20C 수학문제의 1번에 당당히 올리게 됩니다.

하지만 이것은 애매한 상황이 되어버립니다.
괴델은 이 문제가 집합론을 이루는 요소(공리)로는 반증이 되지 않는다고 이야기합니다.
또한 코헨이란 사람이 집합론을 이루는 요소로는 증명되지 않는다고 증명했다..

무슨 소리인가 다시 이야기 해보면
집합론의 논리를 가지고
위의 연속체가설을 증명할 수도 없고! 반박할 수도 없다는 것입니다.
(이것은 괴델의 불완전성의 원리(글링크 클릭)와 관련되어 있습니다. )

이 집합론이라는 모델에서는

'연속체 가설이 성립한다' 라고  해도 하나의 체계가 완성될 수 있으며

또 '없다고 가정'해도 새롭게 다른 완성된 체계가 만들어질수 있다는 것입니다.

간단히 말해 둘 모두 정답이라는 애매모호한 정리로 마무리 됩니다.

결론은!
가장 작은 무한은 자연수 개수이며
무한의 순서는 멱집합으로 할 수 도 있고! 그런 순서가 없게 할 수도 있다!

그럼 이런 아리송한 결론은 괴델아저씨의 불완전성의 원리에서 말하겠고
이제 무한에서 조금 벗어나서
집합론에서의 역설들 몇 개만 더 알아보겠습니다.