3대 작도 불가능 part 2. 작도가능의 확장

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part 1. 에서는 <3대 작도 불가능 문제>가 무엇이고
불가능을 보이기 전에 작도 가능한 점을 유리수 범위까지 가능하다는 것을 찾아 보았습니다.

그래서 사칙연산이 작도 가능하다는 점을 이용해
"1"이란 길이(기준이 되는 길이) 하나에서
자연수 정수 그리고 유리수 까지 작도 가능을 확장했습니다.

작도 가능한 하나의 점이 생기면
덧셈이나 뺄셈 그리고 곱셈 나눗셈을 해서 얻어지는 점은
자동으로 "작도 가능"에 들어옵니다.

그말인즉슨
그저 사칙연산으로 구해지는 새로운 점은 의미가 없고
그 이외의 방법으로 얻어지는 점을 생각해 보면 더 많은 작도 가능을 얻을 수 있습니다.

--------------------- 유리수 이외의 작도 가능? ---------------------

본론으로 돌아와 한번 작도가능한 수들을 새로 뽑아 보면
이때, 어떻게 추가하느냐의 문제가 나오는데

작도의 본질로 들어가면
결국 컴퍼스와 눈금없는 자로
우리가 그릴 수 있는 단 두 가지, <직선(자)과 원(컴퍼스)>에서 유추할 수 밖에 없습니다.


현재 목적이 "작도 가능한 길이(혹은 점)"에 초점을 두고 있으므로
자연스럽게 <교점=만나는 점>을 이용하면 더 많은 길이를 구할

수 있는 가능성을 찾게 됩니다.

이때 가능한 도형(직선과 원)으로 가능한 교점은

다음과 같이 정확히 3가지만 가능합니다.

a. 직선과 직선의 교점 b. 직선과 원의 교점 c. 원과 원의 교점

특히 우리가 그릴 수 있는 직선과 원은 한정 되어있습니다.

우리가 그릴 수 있는 직선 : (작도 가능, 작도 가능)의 좌표 두 점을 지나는 직선 우리가 그릴 수 있는 원   : 중심 좌표가 작도 가능이고 반지름길이가 작도 가능 인 원

이것들을 방정식으로 바꾸어 계산하면 되는데 대수 식으로 엄정하게 하면 조금은 버거울수 있습니다.

따라서 더무 복잡한 계산은 생략하겠습니다.

우선 직선과 원은 다음과 같은 방정식을 갖게 됩니다.

이때 a,b,c,d,e,f는 유리수만 가능합니다.

위의 두 가지 식을 이용해 각각의 교점을 구해 보는데,

교점을 구한 다는 것은 두 식의 연립방정식을 통해 해를 구하는 것입니다.

먼저

a.직선-직선의 교점(방정식)은 1차 이하이고
c.원-원의 교점을 구하다 보면(2차-2차=1차 이하)은 제곱항이 상쇄됩니다.

결론적으로 방정식의 해를 구할 경우 a.의 경우와 c.의 경우는

1차 이하의 식(y=1차, 또는 y=0차, 또는 일치되는 식)이 됩니다.

이는 x 또는 y 값이 유리수라면 결국 나머지도 유리수가 됩니다.

이는 새로운 수(유리수 이외의 수)를 생성하는 작도가 될 수 없다는 것입니다.

이때, 새로운 가능성이 하나 남습니다.

b.직선-원의 교점은 다른경우와 다르게 독특하게 제곱항이 남습니다.

제곱항이 남는 다는 것의 의미는

만약 식을 x 또는 y를 기준으로 정리한다면 반대쪽은

제곱근(,root)이 나올 수 밖에 없다는 것을 의미합니다.

다시 말해 제곱근 ()안에 유리수가 있는 길이까지는 작도가 가능합니다/

결론적으로 

어떤 수 a란 것이 작도 가능이면 도 작도 가능해 집니다. 그 직접적인 증명은 아래 그림으로 대신합니다.

이를 연속으로 적용하면
와 같이 루트속 루트까지는 작도 가능하고 이를 정리하면

즉, 과 같이
2의 거듭제곱으로 된

제곱근들로 이루어진 것도 이 작도 가능한 점이란 것을 할 수 있습니다..

--------------------- 작도 가능한 수란! ---------------------

이제 약간의 결론이 보이기 시작합니다.

우리가 작도로 가능한 수는

유리수와 유리수의 2의 거듭제곱근들의 사칙 연산까지 가능합니다.

예를 들어 보자면 이런 길이들이 작도 가능합니다.


그리고 또하나의 중요한 결론은

위의 3가지 예(직선, 원의 교점) 이외에는

(눈금없는 자와 컴퍼스 뿐이라는 핸디캡때문에)  작도 가능한 것은 없다는 것입니다.

따라서 그 이상은 작도 불가능합니다.
(여기서 대수의 확장체 이론은 생략하겠습니다.)

긴~ 터널을 지나서 이제야 우리는 작도 가능한 점을 다 살펴보았습니다.
이제 이 중요한 결론으로 부터 작도불가능에 대한 증명을 시작하겠습니다.

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