3대 작도 불가능 part 3. 작도불가능 증명과 델로스 신의 메세지

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이전에 글을 통해서

작도가능한 것의 한계를 알았습니다.

그 결론은 다음과 같습니다.

유리수와 유리수의 2의 거듭제곱근들의 사칙 연산까지 가능합니다.

-------------------- 왜 작도 불가능 인가 --------------------

1. 임의의 각의 3등분은 작도 불가이다.

모든 각이 3등분 되지 않는 다는 말은 아닙니다.
특수한 몇 개의 각은 독특한 방법을 통해서 삼분할되는 각도 분명 존재합니다.

(예를 들어 90도는 삼분할하녀 30도씩 분할 가능합니다.)

그러나 문제는 일반적으로 가능한 3분할이 있냐는 것입니다.

결론은 역시 불가능합니다.
증명하는 방법은 생각보다 간편합니다.

'딱 하나라도 불가능'하다라고 보이면 위의 명제는 거짓이 되는 것입니다.

따라서 특수한 각,
"60도"를 예로 들어 보겠습니다.
(참고 : 이 방법은 1837년에 피에르 방첼의 증명입니다..)
(수식 많은 관계로 한글로 프린트 스크린으로^^;; 다음부터는 한글 2010의 api를 이용해야 겠습니다.)

사실 여기에는 다른 대수적 이론도 많이 들어가 있지만 오히려 이해를 방해하므로 생략하겠습니다..
(예 : 유리수체 위에서 기약)

여튼 결론적으로 60도도 삼분할을 하려면 삼중근이 나오고 이것은 우리가 할 수 없는일입니다.
따라서 일반적인 각을 삼분할 한다는 것은 불가능합니다.

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2. 임의의 정육면체의 부피가 두 배 되는 정육면체는 작도 불가이다.(델로스의 문제)

이것은 1번 문제와 다르게 일반적으로 작도 불가능합니다.
증명을 쉽게 하기 위해서
길이가 1인 정육면체를 생각하겠습니다.(a라 해도 동일한 방법으로 증명가능합니다.)

1번 문제에 비해서 비교적 쉽게 증명 가능합니다.
델로스의 신탁에서는 신이 작도 불가능한 문제를 던져 준 것입니다.
(생각보다 그들의  신은 참으로 잔인했습니다.)

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3. 임의의 원의 넓이가 같은 직사각형은 작도 불가이다.

역시 증명의 편의를 위해 
길이가 1인 원을 생각하겠습니다.

뭐 이 역시 여렵지 않게 증명가능합니다.

(여기서 파이가 유리수체에서 초월수라는 것의 증명은 생략하겠습니다.)

-------------------- 불가능으로 안착된 결론 그리고 불복 ----------------------

우리는 위의 3문제를 위해서
"작도"의 의미를 살펴 보았고
"작도 가능"한 수의 범위를 넓혀갔습니다.

그 결과 우리는 2000년간 수학자들과 수학에 관심 있던 지식인들의 도전하게 만들었던
<3대 작도 불가능>이라는 과제를
기나긴 시간 후에 <불가능>이라는 결론으로 마무리 되었습니다.

어쩜 살짝은 힘이 빠질 일이기도 합니다.

당연한 느낌일 것입니다.

생각해보면
게임에서의 퀘스트(임무)를 받고 의욕적으로 뛰어들 기사들이
모진 역경을 뚫고 나왔을때
자신의 눈앞에 펼쳐지는 불가능이라는 벽을 맞닥들이게 된다면,
그 퀘스트는 이미 불가능했다는 그런 결과는 절망적이죠.

이런 마음일까요?

불가능이란 증명에도 불구하고
아직도 이 문제에 많은 사람들이 매달려 있습니다.

특히 특수한 경우 가능했던

각의 삼등분 문제에 빠져 있는 사람들이 많은데
이런 사람들을 삼등분가(trisector,삼등분 하는 사람)라고 부르기도 합니다.

실재로 인터넷에서 각의 삼등분문제를 검색해보면 쉽게 만날수도 있습니다.
그들은 그들의 방법으로 논문도 내놓는 일도 있지만
전혀 받아들여지지 않습니다.

사실 학부 공부하던 도중 교수님께서도 이런 고충을 이야기 했습니다.
어떤날 우편으로 책한권 분량의 삼등분가의 논문을 받고
그런 우편을 꺼내보기도 싫지만
그래서 성의를 생각해 논문을 꺼내 틀린 부분을 지적해 회신한답니다.
(뭐 이도 성의 있는 경우에서만으로 한정됩니다)

그럼 받아들이고 다시 연구하거나,
반박에 대해서 인정하지 않거나 인데
사실 전자보다 후자가 더 많다고 합니다.
아마도 기하학이 대수학으로 증명되는 순간을 온전하게 인정하지 못하는 것 같습니다.

----------------- 불가능을 바라보는 인간의 시선과 델로스 신의 메세지 -----------------

<불가능>을 바라보는 인간의 시선은 어떨까요?

대수학적인 증명을 반기지 않는 삼등분가들 처럼

그다지 긍정적이지 못한것 같습니다.
모든지 가능케 했던 인간의 능력,
혹은 인간만이 할수있다 생각하던 종의 특권의식이란  감정에 익숙하던 인간이
불가능과 마주하는 순간, 왠지 모르게 숙연해지기도 합니다.

보통의 증명이란
그것이 참이거나 해결가능을 보여왔지만
이런 일방통행의 증명이

작도 불가능의 의미는?

작도 불가능이라는 큰 벽 앞에서
더 긴 시간을 헤매게 만든 것일지도 모릅니다.

결국에는'불가능을 증명'

하면서 더이상의 도전은 허락치 않게 되었죠.

델로스의 신의 문제는 어떤 메세지 일까요?

자신의 위엄을 더 크게 떨치려 그랬을까요?
아니면 혹시
인간의 교만함에 대해 일침하는 신의 메세지였을까요?

그 답이 어떠하든
델로스의 문제의 답은 "너희들 능력에서의 불가능"이였습니다.

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