노군의 수학 중독기

우리는 무한의 끝의 유무(글 링크)를 알아보기 위해서 그리고 칸토어의 정리(글 링크)를 해결하기 위해서
멱집합이란 개념을 썼습니다.

정확한 정의는 다음과 같습니다.



예를 들자면
A={1,2}라고 하면
A의 부분 집합들은  φ, {1}, {2}, {1,2} 이렇게 4개 나옵니다.
이 부분 집합들을 다시 집합으로 묶습니다.
P(A) = {  φ, {1}, {2}, {1,2}  }
따라서 집합의 집합이 되는 것입니다.


--------------------유한집합의 멱집합 원소의 개수---------------------------

멱집합 원소의 개수는 원래 집합의 개수의 원소에 따라 다릅니다.

위의 예 같은 경우에는 A의 원소의 개수가 2개 이므로
P(A)의 개수는 2의 제곱 즉 2 × 2 = 4개가 되는 것입니다.

간단히 그 이유를 설명하자면

A의 어떤 부분 집합을 만들때
각 원소에 대해서 그 원소가 들어갈 수 있는 경우의 부분집합과
그 원소가 들어가지 않는 부분집합

이렇게 원소마다 부분집합에 대한 2가지 경우의 수가 생기고
각 사건이 독립적이므로 각 원소의 수만큼 곱합니다.

--------------------------무한 집합의 멱집합-------------------------------

무한집합의 멱집합 역시 같은 원리이며  원소의 개수 또한 2의 제곱으로 표현합니다.
무한집합에서는 실제로 2의 제곱수라기 보다는

멱집합이라는 의미적인 표현이라 볼 수 있습니다.

또한 그래서 A의 멱집합이라는 표현은
P(A)대신에 로 쓰기도 한다.

-----------------------칸토르 정리------------------------------------

무한 집합에서는 진부분집합(자신이 아닌 부분 집합)이라 하더라도
원소의 개수가 동일 할 수 있습니다.(사실 이것이 무한 집합의 정의이기도 하다.)

예를 들어 자연수의 개수와 짝수의 개수는 같습니다.
(다른예: 힐베르트 호텔(링크), 자연수와 짝수와의 개수 비교(링크)

하지만 멱집합은 무조건 원래의 집합보다 개수가 많아집니다.
이는 무한집합이더라도 동일하게 적용됩니다.

이를 칸토르 정리라고 합니다.

이에 대한 자세한 이야기는 집합 글(여기 클릭), 그리고 이에대한 증명은 다른글(클릭)에서 확인할 수 있습니다.

제논의 역설 중에 나왔던 무한합
상당히 개념이 어려웁기에 여기서 조금 수학적으로 다가서 보겠습니다.
(사실 다음에 기초개념이 많이 필요하나 간단히 접어두고 간단히(?) 보면)

1. 수열이란?
간단히 말해서 수을 하나씩 나열 하는 것을 의미합니다..
1, 2, 3, 4
이것도 수열이고
3,1,4,2,5,2
이것도 수열이다 어떤 규칙이 없더라고 수 배열을 수열이라 합니다.



2. 등비수열이란!?
아무렇게나 만들어진 수열은 조금 재미없기 때문에
그중에서 어떤 규칙성이 있는 수열을 뽑아 쓰곤 하는데
가장 많이 쓰이는 수열중 하나가 이 등비수열입니다.

말 그대로 해석 하면
(등=같은) (비=비율이) 수열이입니다.

다시말해서 어떤 값으로 시작해서 처음값에 일정하게 어떤 값을 곱해 나가는 으로

예를 들면
처음이 3이고 곱해지는 일정한 값을 2라 했을 때의 등비수열은


가 됩니다.

보통 첫항은 a로 쓰며
동일하게 곱해지는 값은 r로 씁니다.
그래서 다음과 같이 보통 포현된다.





3. 등비수열이 뭐가 중요하냐고요?
중요한 점은 여러군데 있습니다.
보통 수열을 쓰는 이유 중에 하나가 어떤 변수의 변화를 쉽게 파악하고
그 안에서 여러가지 의미를 찾으려 하는 것입니다.

그런데 우리의 대부분의 현상에는 이런 등비가 많이 있죠.
몇가지 예를 들자면
은행의 이자는 바로 이 등비수열이 모델이 됩니다.
또한 도자기등 문화재의 생산년도를 파악하는 탄소연대측정법도 이 등비수열입니다.

그런데 오늘 여기에 관심을 둘 것은 바로 이 등비수열이
무한개의 항을 더해도 수렴하는 경우가 생긴다는 것입니다.

(모든 등비수열이 수렴한다는 뜻은 아닙니다.)

뭐 다른 어떤 수열도 그런 경우가 있지만
쓰임이 많으면서도 무한히 더해도 유한한 값이 나오는 경우가 있다는 것은 큰 의미가 있습니다.

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