집합 part 4. 실수 VS 자연수! 개수가 더 많은 것은?

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  "유리수와 자연수의 개수가 같다"라는
다소 믿기 어렵고 선뜻 이해되지 않는 사실에서
고대 다른 수학자들이 무한을 싫어했는지 잠시나마 이해할 수 있습니다.

이런 결과를 받고나면 왠지

'무한은 모두 같은 개수다'라는 다소 결정적인 생각이 들기도 합니다.

그러기에 다음 두 무한의 비교가 의미있을 것 같습니다.
바로 실수와 자연수의 비교입니다.

그럼 실수를 설명하자면
기본적으로 우리가 쓰는 모든 수라고 할 수 있고 기본적으로 수직선상의 모든 수라고 합니다.(더 자세한 설명은 다음에 작성하겠습니다.(데데킨트의 절단 등))

유리수와 자연수의 비교에서 처럼 약간의 작업이 필요합니다.

우선 먼저
0<a<1 구간안에서만 생각하겠습니다.

이때 구간안의 모든 수는
a = 0.xxxxxxxxx‥‥‥ 이라 표현 할 수 있습니다.

(예 0.5 = 0.50000000‥‥, 1/3=0.33333333333333‥‥)

우리가 처음에 약간 마음이 기울던 결과처럼

"(0,1)구간의 실수와 자연수의 개수가 같다"라고 가정 하겠습니다.

(아마도 수학에 관심이 있다면 다음 위의 가정의 이유를 알것이라 믿습니다.)

가정이니 만약 같다면 무리없이 짝(일대일 대응)이 지어질 것읍니다.

우선은 위 처럼 가정해 보면 이렇게 소수 하나씩 대응이 됩니다.

1 <-> 0.a₁₁a₁₂a₁₃a₁₄‥‥‥

2 <-> 0.a₂₁a₂₂a₂₃a₂₄‥‥‥

3 <-> 0.a₃₁a₃₂a₃₃a₃₄‥‥‥

4 <-> 0.a₄₁a₄₂a₄₃a₄₄‥‥‥

   .   .

k <-> 0.a₁₁a₁₂a₁₃a₁₄‥‥‥

   .

   .

이렇게 대응이 되어야 하고 가정에 의해서 일대일 이여야 합니다.

다시 말해서 양쪽의 모든원소가 서로 연결되어 혼자 있는 원소가 없어야합니다.

이제 원소 하나를 꺼낼 예정입니다.

예상대로 지금 위의 결론에 문제가 될 것입니다.

그 원소는 바로 다음과 같습니다.

이렇게 정의된 X에 대응되는 자연수를 찾을 예정입니다.

그런데 어렵이 않게 문제를 접할 수 있습니다.

X에 대응될 자연수가 없습니다,.

모든 k에서 a_kk ≠ x_k

가 되기 때입니다.

결국에는 X에 대응 하는 자연수를 찾지 못하니

결국은 처음에 가정했던 것과 다른 결론이 생겨버립니다.

(이런 증명법은 직접적인 증명이 어려운 증명에서 많이 쓰이는 방법입니다.)

하여튼 결론은 확실합니다.

자연수는 (0,1)구간의 실수 개수와 같다는 가정은 거짓입니다.

(0,1)을 포함 하는 구간도 자연수가 모두 커버 못하니

실수를 커버할 수 없는 것은 당연합니다.

(하지만 사실 (0.1)구간의 실수와 실수 전체의 개수는 같고 근거는 함수 y= tan(π(x+1/2))가 일대일 함수라는 것에서 알 수 있습니다.)

당연히 실수가 자연수를 포함하므로 다음과 같은 결론이 납니다.

실수의 개수가 자연수의 개수 보다 많다!

이 결과는 지금까지(유리수) 자연수 보다 큰 무한이 없었지만

실수에 이르러서야 자연수보다 큰 무한이 나왔고 앞으로도 더 나올 수도 있다는 결론이 내려입니다.

우리는 무한이란 것의 신기함으로 가득한

힐베르트 호텔도 실수 만큼은 채울 수 없습니다.

다음 글은 이런 무한의 끝이 있을 수 있을까하는 면에서 작성하겠습니다.

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