노군의 수학 중독기

제논의 역설 제거를 위해 미리 보는 등비수열의 무한합이 필요합니다.
개념은 이곳을!  제논의 역설은 이곳을! 를 클릭하시기 바랍니다.

이해는 쉽지만 설명하기 어려운 등비수열의 개념이 필요하기에
제논의 역설이 왜 이렇게 오랫동안 사람의 마음을 가지고 장난을 쳤는지 알 것 같습니다.
각설하고! 이제 제논의 역설을 풀어낼 마지막 공식들을 정리하겠습니다.

1. 등비수열의 합(유한번)
첫번째 항이 a이고 일정하게 곱해지는 값(공비)를 r이라 하고
첫번째항부터 n번째항 까지 더한 것을 X라고 하면
딱, 하나의 조건 r=1을 제외하면
  X-rX를 해보면 다음과 같은 결과가 나옵니다.




조금은 복잡하지만 천천히 뺄셈만 잘 보면 고등학교 수준입니다.

다시 정리하자면
등비수열이란 것이 1번 부터 n번까지 더하면 저런 모양입니다.

예를 들어보자면

첫번째가 3이고 일정하게 곱해지는 값이 2일떄
100번째까지 다 더해보면

입니다
(계산은 집에서 천천히..2의 100제곱 구하기 어려우니 값을 보고 싶으시면 상용로그 이용을 추천합니다;;)



2. 워밍업 에서 n의 값이 커진다면


r>1이라면 제곱 몇번 해보면 알겠지만 은 자꾸 자꾸 커져 무한대 까지 갑니다.
r=-1이라면 제곱을 할때마다 의 값은 1과 -1의 반복입니다.
r<-1이라면 제곱을 할때마다 의 값은 양수와 음수를 반복하며 그 절댓값이 더 커집니다.

그런데 0<r<1일경우를 보자!!
의 값은 음수든 양수든 점점 작아지는 계속 나아 갈수록 0에 가까워집니다.

r=1인 경우는 당연히 1입니다.

3. 멀리 왔지만 이제 다시 다 다가온 등비수열의 무한 합

만약에 0<r<1가 아닌 경우에는
의 값이 일정하지 않거나(r=-1, r<-1) 너무 커져서 합(r=1, r>1)을 구할 수 가 없습니다.


그래서 의 값이 0이 되는 0<r<1 의 경우에서만 합의 값을 구할 수 있고
가 됩니다.(a는 첫번째 값!, r은 일정하게 곱해지는 값!)

이것은 제논의 역설-아르키메데스와 거북이의 달리기(클릭)에 적용하자면
처음 거리는 10m 그리고 항상 일정하게 곱해지는 값 1/10이 적용되어 계산됩니다.

이 증명의 배경 지식이나 이야기는 여기를 클릭하시면 이야기를 읽으실 수 있습니다.

증명

a. 공집합인 경우에는 φ의 원소의 개수는 0개이고 P(φ)={φ}이므로 개수가 1이다.

따라서 성립합다.

b. A가 공집합이 아니라고 하자.

당연히 P(A)는 A보다 개수가 많거나 같다(무한일 때를 고려해서)

그럼 여기서 개수가 같지만 않음을 보이면 된다.

만약 둘의 개수가 같다고 가정하자.(나중에 모순을 보일 것임)

그럼

P(A)와 P가 일대일 대응이다.

이 대응을 함수 f라고 하자.

그럼 f(x)는 P(A)의 원소로 A의 부분집합이 된다.(주의 f(x)는 집합이다.)

집합 S={x∈A│x ∉ f(x)}라고 하자.

즉 x의 원소인데 일대일 대응으로 보내면

대응되는 결과(A의 어떤 부분집합)에 x가 들어가지 않는다.

그런데 S도 P(A)의 원소 이므로 어떤 원소 e가 존재해서

f(e)=S이다.

그런데 이 e가 문제이다.

e는 S의 원소이거나 아니거나 둘 중에 하나다

(case 1) e∈S

S의 정의에 따라서 e∉f(e)

한편 f(e)=S이고 e∈S이므로 e∈f(e)이다

이것은 모순이다

(case 2) e∉S

S의 정의에 따라서 e∈f(e)

한편 f(e)=S이므로 e∉f(e)이다.

이것은 모순이다.

case 1,2 모두 모순이므로

처음에 가정한 A와 P(A)의 개수가 같다는 가정은 틀렸다!

따라서 P(A)는 항상 A보다 개수가 많다.