노군의 수학 중독기

그의 아버지는 부유한 유태인 상인이였는데
부친이 1856년 독일의 프랑크푸르트로 이사한 후 독일에 계속 머물게 되었고
1863년에 스위스의 취리히 대핵에 입학하였는데 아버지의 사망을 이유로
다음해에 바로 베를린 대학으로 옮겨와 수학, 물리학, 철학을 공부했습니다.

특히 그는 수학과 철학의 관계에 집중적으로 몰두한 그는
처음에는 정수론 , 부정방정식, 삼각급수에 있었는데
삼각급수의 미묘한 이론에 영감은 칸토어는 해석학의 기초에 관심을 두고
데데킨트의 기학학적 절단에 반영된 무리수와는
다른 무리수의 아름다운 취급법을 만들어냈죠.

하지만 칸토어는집합론과 무한이론에 몰두하였고
끝내 1874년에 "집합론의 한 고찰"이라는 논문집을 제출하였습니다.
칸토어는 수학 연구의 아주 새로운 분야를 창조한 것이고
특히 초한수이론을 발천시켜 유한수의 계산법과 유사한 초한수의 계산법을 만들었습니다.

하지만 당시 독일 수학계에서 막강한 힘을 갖고 있던 수학자이며
논문집 편집위원장으로 있던  "크로네커"가 편집실을 통해 발표를 억제시키고 말았는데
이일로 칸토어는 상처가 깊었고 크로네커와의 악연이 계속이어졌습니다.
크로네커는 직관주의자로 칸토어의 집합론에 대한 생각은 수학의 위기를 초래할 것이라고 비판했죠.

그 이유는 집합론의 초한수 대한 이론 자체가 직관과는 거리가 먼 이론이였기 때문입니다.
무한집합의 크기가 다른점, 유리수와 자연수의 수가 같은 것 그리고 실수집합의 비가산성
특히 여기서 대각선 논법으로 증명한 것으로 유명합니다.
그러나 그는 연속체가설을 증명하기 위해 노력했으나 성공하지는 못하였습니다.

칸토어가 인정받는 것은 1897년 취리히에서 개최된 제1회 국제 수학자 회의인데
집합론이 수학의 기초와 철학에 깊은 의가 있음이 인식되며 이름이 알려지게 됩니다.
1901년에는 런던수학회의 명예회원으로,
1902년에는 크리스티나 대학 및 성앤드리우스 대학에서 명예학위를 수여했고
1904년에는 런던 왈립 협회로부터 실베스터 메달을 받았습니다.

하지만 크로네커 등과의 계속되는 갈등과 러셀의 역리등을 해결하는 인생속에서
칸토어는 신경쇠약 후에 우울증에 걸리고 말았고
이후 문학과 종교에 대한 글을 내기 시작해

신학과 관련이 있는 절대 무한의 개념을 발전시켰는데
결국에는  제1차 세계대전 내내 가난했고 심지어 굶주리기까지 하며 비참하게 살다가,
결국 독일의 할레지역 정신병원에서 한 천재는 삶의 끝을 맞이했습니다.

오늘날 칸토어의 집합론은 거의 모든 수학분야의 기초가 되고 있으며
특히 위상수학과 실함수론에서 중요하게 쓰여졌습니다.
사실 집합론에는 많은 역설이 나타냈으나 하나씩 보완하고 있습니다.
재미있는 사실은
칸토어와 크로네커의 논쟁은 현재까지도 형식론자와 직관론자들의 논쟁으로 이어지고 있습니다.

우리가 고등학교때 배운 등차수열이나 등비수열은 다 잊어도
한번쯤은 이야기로 들은 피보나치수열은 기억하는 사람은... 몇... 있을 것입니다.

----------------- 피보나치 수열의 정의 ------------------

최초의 발견은 린드란 사람이 발견한 수학서 "아메스 파피루스(혹은 린드 파피루스)"에 적힌 문제나
기원전 5세기 제작된 인도의 수학자 핑갈라가 쓴 수학책 찬다 사트라에 언급된
수열을 최초로 재설명 했다는 설이 있습니다.

여튼 피보나치는 1228년에 쓴 <산반서>란 책 2장 10설에서
토끼 이야기를 하면서 피보나치 수열의 정의를 언급하였고 그 이야기는 이렇습니다.

뭐 문제는 간단합니다. (풀이야 그렇지 않더라도)
찬찬히 하나하나 적어보겠습니다.





(1번째 달) = 1쌍
(2번째 달) = 1쌍
(3번째 달) = 2쌍
(4번째 달) = 3쌍
(5번째 달) = 5쌍

잘 보고 있으면 일정한 규칙을 찾을 수 있은데

예를 들어 보면
(3번째 달) = (1번째 달) + (2번째 달)
(4번째 달) = (2번째 달) + (3번째 달)
(5번째 달) = (3번째 달) + (4번째 달)

간단히 이야기 하자면 그 규칙은
어떤 달이 있다면 그 달의 수는
그 전달과 그 전전 달의 합과 같아집니다.

즉 간편하게 쓰자면

가 되죠.


피보나치는 이 수열을 단순히 문제에 대해서 책에 기록한 것이다
이 문제에 대한 해답은 19C 프랑스 수학자 에드워드 루카스가 오락용 책을 편집하다가
이 수열의 해답을 적고 이 수열 앞에 피보나치란 이름을 붙인 것이다.

--------------------피보나치의 수열------------------------

이같은 방법으로 계속 수를 써 내려가면 이렇습니다.

1  1  2  3  5  8  13   21   34   55   89   144   233 .........

그저 규칙이 없는 수의 배열 같지만

놀라운 수열입니다.

1. 자연이 선택한 수열
우리 인간에게 가장 큰 영감이고 가장 큰 철학의 근원은 바로 자연입니다.

그런 자연이 선택한 수열이 바로  피보나치 수열입니다.

먼저 많은 식물이 피보나치를 선택했습니다.
주변의 꽃잎을 보면 대부분의 꽃잎의 수는 3장 5장 13장등 피보나치의 수입니다.

백합(3장의 꽃받임 제외)과 붓꽃과 아이리스는 3장
패랭이, 채송화와 동백과 장미는 5장
모란, 코스모스는 8장의 꽃잎을.
금잔화와 금불초는 13장,
치커리와 애스터는 21장,
질경이와 데이지는 34장,
쑥부쟁이는 55장 혹은 89장의
꽃잎을 갖고 있습니다.
뿐만아니라 데이지와 해바라기의 씨를 보면
해바라기는 34-55-89등의 배열이며 데이지의 꽃 머리 역시 34개와 55개의 내선이 있습니다.
그리고 신기한 것이 있습니다.

그건 바로 인공적으로 개량한 종은 거의 이 법칙을 따르지 않습니다.
자연은 쉽사리 법칙에 대한 접근을 시도치 않는가 봅니다!

끝이 아닙니다. 잎차례라고 있습니다.
잎차례라는 것은 t번 회전하는 동안에 잎이 n개 나오는 것을 이야기 하는데
보통 잎차례는 t/n으로 표시 합니다.

그런데 이것은 따져보면 분자와 분모다 피보나치 수열로 나오게 되는 경우가 많습니다.
(이것을 심퍼-브라운의 법칙이라고 한다.)
예를 들면
무꽃, 벗꽃, 사과 => 2/5
장미, 배, 버드나무 = > 3/8
아몬드 => 5/13
등이 있습니다.

아마도 그 이유는 윗 잎에 햇볕이 가려지는 것을 피하기 위해

빈공간을 찾게 되고 따라서 자연스럽게
잎들이 피보나치 수열을 선택한 것으로 보고 있습니다.

그리고 나무도 마찬가지 입니다.

같은 이유인지
나무의 가치가 뻗어나가는 것 또한 피보나치 수열을 이룬다.




동물에서도 어렵지 않게 찾을 수 있습니다.
예를 들면 고동의 모양을 보면 그 또한 피보나치 수열로 만들어 진것을 알 수 있습니다.




위의 두 나선을 보면 고동이나 소라가 어떤 수열을 공부했는지 알 수 있습니다.
자연을 표현한 자연은 닮은 수열,..

바로 피보나치 수열입니다.



2. 그 자체가 아름다운 그 수열 피보나치

피보나치 수열은 그  자체로도 빛을 발합니다.

먼저
1 1 2 3 5 8 13....으로 이어지는 피보나치 수열에
앞과 뒤의 비를 보면
다시 말해
1/1,  1/2,  2/3,  5/8, 8/13........
이렇게 앞을 뒤로 나누어 보는 것입니다.

그럼 이 값이 어떤 값으로 천천히 가까워 지는데

그것은 우리가 알고 있는

그리고 그 유명한

"황금비"입니다.

황금비는 우리가 사용하는 신용 카드, A4용지, 계란의 가로와 세로의 비 등!

엄청나게 다양하게 사용되는 비율이 바로 황금비입니다.
우리는 우리도 모르게 가장 많이 쓰고 있는 비율인 것이다.

이름 자체에서 느끼듯이
우리가 느끼는 가장 아름다운 비라고 느낀다고 이야기 합니다.
즉 피보나치 수열은 그 자체에 황금비의 아룸다움을 품고 있는 것이죠.


또한 재미있는 실험을 해보면


1을 연속으로 연분수(분수속에 분수)꼴로 재미있게 만들어 보면
지금 까지 계속 이야기 했던 이야기 바로 피보나치의 수와
방금 이야기 했던 황금비율로 가는 분수들이 나오게 됩니다.

피보나치의 수 자체에 이런 재미있는 모양을 담은 유희의 수열이라 할 수 있죠.


---------------------------------------------------------------------------------------

사실 간단한 사고로 부터 혹은 장난스런 문제로 시작한 이 수열은
지금까지도 꾸준히 연구 되고 있는 수열로
어쩜 자연이 선택하였고 인간을 아름답게할 신이 선택한 수인 것입니다.

우리가 집합을 종종 펼쳐보다보면 조금 답답한 면이 있습니다.
집합의 정의 자체 부터.. 비유하자면 약간 파시즘적이죠.
소속을 명확하고 정확하게 해야지만 그 소속에 들어갈 수 있죠.

다시 말하자면 "너무 엄격함"입니다..

----------------------불완전한 소속-----------------------------

다시 집합이야기로 들어가면
집합에서는 그 집합의 정의에 완벽하게 부합하는 소속원 또는 완벽한 배제만을 원합니다.
그러니 집합은 까다롭기만 합니다.

그런데 이런 것들은 세상의 많은 일을 포용하기에는 반대로 나약합니다.

예를 들어 보자
집합을 "자신이 키가 크다고 생각하는 사람들의 키"라고 하면

이런건 집합에서는 다룰수 없는 것입니다.

결국 버려버리고 마는 집합입니다.
분명한것은 자신이 크다고 생각하는 사람이 분명 존재하고
그런 사람들의 키 또한 분명 존재한다는 것입니다.

또한 다른 예로
"예쁜 꽃들의 모임"이라 생각해보면
대부분의 수학자는 이런 집합에 대답조차 않하겠지만
분명히 이런 꽃들은 누구에게나 존재합니다.

다만 단지 100%동의 하는 것은 존재할 수 없습니다.

누군가에게는 사랑이나 미학의 징표겠지만

누군가에게는 상처나 자본의 징표일 수 있기 때문입니다.

다시 말하면 두 모임은 정확하게는 수학에서 말하는 집합에서 제외됩니다.
수학적 파시즘적에 반하기 때문이다.
하지만 우리가 이런 모임들을 수학적 인식에서 지워야 한다면
너무 삶이 심심하고 수학은 또 그 삶과 너무 떨어져버릴것 같습니다.

이런 실정에서 엄격함의 수학이
실생활에 아니 혹은 인간적임에 손을 내민 이론이 필요하게 됩니다.

---------------------- 완벽하지 않은 집합 ------------------------

말로 하는 것보다
예를 들어보겠습니다.

A = {"자신이 키가 크다 라고 생각하는 사람들의 키"}라는 모임을 만들고
(당연히 수학적인 집합이 아닙니다.)

키가 180cm인 모든 위너를 다 납치해와서 물어봤더니
전체의 90%가 자신의 키가 크다 했다합니다.(쳇..)
또한
170cm인 분들을 모셔와서 자신의 키가 크다고 생각하는지 물어봤더니
그랬더니 전체의 20%가 자신의 키가 큰편이다 라고 했습니다.

이때 이렇게 생각보는 겁니다.
180은 90%가 A란 집합에 들어간다~!
170의 20%가 A란 집합에 들어간다~!
이렇게 집합의 소속을 통계적(혹은 수학적) 확률로 나타내는 것입니다.
근데 %로 쓰는 것은 단위상 문제가 되므로
1을 100%로 계산해서
90%는 0.9로, 20%를 0.2로 환산합니다.

이렇게 정의해 놓고 이제 포함 관계를 이렇게 이야기 합니다.

180이란 원소는 A에 0.9만큼의 원소이고

170이란 원소는 A에 0.2만큼의 원소가 되는 것입니다.

이런 포함관계를 갖는 집합을 퍼지집합이라고 합니다.

사실 퍼지이론을 수학적으로 싫어하는 사람도 많지만
현재 퍼지이론도 수학의 영역으로 보는 사람이 더 많습니다.
(왠지 이것도 퍼지 집합 같네요.)

-------------------------퍼지집합 의미---------------------------

수학에서는 엄격함으로 모든 것을 채워가려는 시도를 했고
그에 따라 어쩜 그 엄격함은 시대의 요구였을 것입니다.
완벽한 판단력으로 어떤 기본적이고 유일한 하나의 정의 혹은 신앙을 향했으며
그들은 수학을 통해서 그들의 삶과 올바른 길을 증명하려 했습니다.

그 속에서 다양함에 대한 이론들이 꿈틀거리고 상대주의의 역활이 커지기 시작했고
그러다 결국 지금은 불완전한 것들로 둘러쌓이게 되었습니다..
결국 지금은 불완전이란 것에 대한 수학이 요구되었고
그 수학중 하나가 바로 이 퍼지 집합으로 볼 수 있습니다.

인간은 기본적으로 불완전합니다.
이 인간의 기본인 불완전함을 이제 수학이 대처하려하는 것으로도 볼 수 있습니다.
모더니즘에서는 인간이 0,1로 제어되는 기계에 맞추어지는 시대라면
포스트모더니즘이라 불리는 지금은 도리어 기계속에 인간의 요소를 삽입하는 것이지요.
교통, 시스템제어, 재고관리. 많은 전자제품등에 이제는 인간의 마음이 개입되어있지 않은 것이 없습니다.
따라서 불완전한 인간을 대표하는 퍼지이론은
완벽한 논리가 필요한 많은 분야에 퍼지고 있는 실정입니다.

그러고 보면
오히려 지금 같이 불확실한 시대에 엄격함은 인식의 도피처일지도 모르겠습니다.