노군의 수학 중독기

이런 저런 이유로 블로그에 수학에 관련된 글을 올리면서
가장 많이 언급한 수체계 1위는 역시 자연수입니다.

수많은 이름중에 왜 자연수라고 했을지는 어렵지 않게 상상이 됩니다.
사실 영어로 natural number라고 해서 자연수로 번역한것으로 예상됩니다만
영어 'natural'이든 한글(한자) '자연'이든
자연수의 이름에는 "자연스러운"이란 의미가 들어간 것은
<자연스럽게 발생한> 수이기 때문입니다.

다른 수 체계와는 다르게
<자연스럽게 발생한>수는 인위적이 아닌 혹은 교육의 결과가 아닌
경험과 감각으로 발견되었습니다..

우리가 생각하는 대부분의 수이고
수량 순서 크기등 분야를 가리지 않고 모든 곳에 스며들어져 있는 자연수를 분석해보겠습니다.

--------------------------1+1=2?--------------------------------

어쩜 주변 사람들에게
수학을 살짝 전공했었습니다~ 라고 소개를 하면
자주 물었던것 중에 하나가 바로

"1+1은 왜 2인가?"였습니다.
이런 질문은 참 상대방을 당황스럽게 하는데 말이죠

그럼 뭔데라고 물어보면 대답은 다양합니다
1+1 = 창문 이라고 귀엽게 내팽개치는 개그나
1+1 = 1     이라는 감성적인 물방울 철학과
1+1 = 3     이라는 로멘틱한 19금 용어를 던지는 못난 놈 들

어떻게 보면 다 정답니다
바로전 괴델(이분 엄청 언급되네요..)께서는 그러셨으니까..

그래도 우리가 자연수에서 왜! 왜그런지 알아야 하므로
^^

그 답을 드리겠습니다.
일단 자연수가 대체 뭐라 할 것인가 부터 봅시다^^

-------------------------페아노 공리---------------------------

페아노란 분께서 말이죠!
당연하다고 생각되는 것을 다시 정리 해서 공리화 해주셨습니다.
여러개의 공리를 펼쳐주셨는데
그중에서 자연수 부분만 잠깐 설명해 드리겠습니다.(나머지 부분은 심화로 링크하겠습니다)

N이라는 집합이 있습니다.
S(n)은  N위의 함수입니다.

 위의 네 조건을 만족하면 N을 자연수라 하고
이때 다음과 같이 정의합니다.
S(1) = 2
S(2) = 3

S(3) = 4
S(4) = 5

       .
       .
       .
       .

-----------------------해석---------------------------------

언제 부터인가 수학이 영어도 아니면서 해석하게 되네요.
잘 이야기 해보면
1은 자연수입니다. (요새는 확장된 자연수로 0으로도 시작하기도 합니다.)

결론은

즉,
S(1)=2이란 것입니다.
S(S(1)) = S(2) = 3
1다음에 다음은? = 2의 다음! = 3
다음다음다음을 반복하면서 가는게 바로 자연수 입니다.

-------------------------1+1=2가 맞는가?-----------------------

자연수 덧셈을 이렇게 생각 합니다

n,m이 자연수라고 하면 덧셈은 다음과 같이 정의 합니다!

이건 또 머냐!! 버럭 하시겠지만

이제 결론 입니다
1 + 1 = S(1) 입니다(A1에 의해서)

그리고

S(1)은 2라고 했으니  1+1=2인것입니다!!

다른 것도 해볼까요?
3+2 = S(3+1)
      = S(S(3))
그럼 3의 다음 다음이니 5가 됩니다.

---------------------------결론?------------------

뭐 간단한 것을 어렵게 설명하냐 하겠지만
처음 '1+1이 무엇인가?'라는 질문이
사실은 상당히 심오하고 어려운 질문이였습니다.

요약하자면
자연수라는 거.. 자연스럽지만!
쉽게 보아서는 않되는 것이며

아직도 1+1=2인가를 질문한다면.. 저는 위에서 부터 다시..ㅜ_ㅜ
마음속의 1+1이 무엇이든 그것이 정답입니다!

1×1=1도 말씀드릴까요?(자세한 이야기는 생략하고 곱셈의 정의는 링크를 클릭하세요)
나중에 설명하고 그냥 이만 줄이겠습니다.

이제 무한 이야기를 잠시 벗어나서 집합론의 문제들을 더 살펴보겠습니다.

칸토르(칸토어)가 집합론이라는 거대한 작업을 마칠때쯤(어짜피 그 시대에는 큰 인정은 없었지만)
러셀의 편지를 받게 됩니다.
어떤 연구이든 가장 절망스러운 것이 이룩할때 쯔음에 나오는 반론과 역설들입니다.

칸토어 역시 편지 한장에 절망감을 느끼게 됩니다.

그 내용은

사람들은 집합이란 단어를 '모임'으로 생각하기 때문에
"모든 집합들을 모아 놓은 집합"도 자연스레 상상하게 됩니다.
자연스러운 이 단어가  왜 문제가 되는 것일까요.

그 문제는

다음 이야기에서 나타납니다.

-------------------------이발사의 역리(러셀의 역리)------------------------

세빌리아(지명이름)의 이발사는 자신의 상점 입구에 이렇게 크게 써 놓았습니다.

멋진 한마디입니다.

즉, 나는 스스로 면도하지 않는 사람을 면도하겠다는 설명입니다.

그런데 문제는 세빌리아의 다른 사람들이 아닌 자기 자신입니다.

이발사 스스로의  면도는 누가 해야 할까요?

먼저 자기 자신이 면도를 한다면 스스로 면도하는 사람이므로

팻말에 적혀있는 스스로 면도하지 않는 사람에 포함될 수 없습니다.

그러므로 이발사는 자신을 면도할 수 없습니다.

또한 다른 사람이 자신을 면도 한다면 이발사 자신은
팻말에 적혀있는 스스로 면도하지 않는 사람입니다.
따라서 스스로 면도를 해야 합니다.

----------------------------------------------------------------------------------------

말의 의도는
세릴리아의 스스로 면도하지 않는 사람을 면도 하는 사람
이란 자신의 처지가 자신에게 속하는가 속하지 않는가 입니다.
자신자체가 들어가야 할 곳이 어디인가라는 것입니다.

러셀은 이런 역리를 구체화한 집합과 질문을 던진다

이 집합에는 자기 자신이 포함될수도 포함되지 않을 수도 없는 일이 벌어집니다.

전형적인 모순입니다.

이발사의 역리로 시작한 이 질문은 집합론계의 아주 큰 파장을 불러일으켰습니다.
참고로 이와 같은 의미의 유명한 역설인 에우블리데스의 명제"내가 지금 말하는 명제는 거짓이다"
그리고 크레타섬의 거짓말쟁이의 역설"이섬의 사람들은 다 거짓말 쟁이다"와 일치합니다.

당시 집합론을 이야기 하는 수학자의 기본적인 믿음에 대못을 박은 이 논쟁은
결국에는 <모든 집합의 집합>이 존재하지 않음으로 결론을 냅니다.
그리고 이 논쟁을 통해서 소위 논리주의, 직관주의, 형식주의의 이 세가지의 사조가 나타나면서

급 혼란기를 맞이합니다.(자세한 것은 심화 메뉴를 통해서 알아보도록 하겠습니다.)

------------------------- 결  언 ------------------------------

우리가 어떤 것을 감각적으로 이해하고 의견을 수렴하는 일은
자신도 모르는 기초 사고에 지배당하게 됩니다.

집합론도 마찬가지입니다.
우리가 쉽게 이해할 수 있는 집합론이지만
웃으며 지나가기에는 많은 역설과 모순이 난무하게 됩니다.

<러셀의 역리>라는 홍역을 치룬 집합론은
제대로된 공리계를 세워 집합론을 방어해 나가야 할 필요성이 생겼고
대학수준의 이야기이지만
현제는 ZFC공리계라고 부르는
체르멜로-프란켈 집합론이라 하여 몇 가지 공리를 기반으로 한 집합론을 세웠습니다.

- 추가 적인 집합론의 역설 -
리차디언의 역설
부랄리-포르티 역설

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집합론이란 것으로 무한에 하나의 깃발을 세웠고
또한 집합론을 통해 많은 수학들이 피어나게 되었습니다.

많은 역리와 반발 속에서 꽃피우게된 집합론은
전공수학의 맨 처음을 장식하게되는 영광까지도 얻었죠.

불완전하고 감각적인 수학의 뿌리이지만(괴델의 불완전성의 원리)

집합론은 그 불완전속의 구조적이고 합리적인 사고로 부터 우리는 완벽함을 추구하고자 합니다.

불안함속의 완고한 한마디로 이 장을 마치겠습니다.

우리는 삶을 살면서 우리도 모르게 진실이라 믿는 사는게 너무 많습니다.

기독교에게 여호와, 불교자에게 석가모니..
또는 누구에게는 로봇물고기

대부분 그렇지만 그 믿음을

한번 증명해 보라고 하면 믿음 자체가 중요하다고 말합니다.
보통 신성모독으로 종교재판에
혹은 국보법위반으로 안보부에 끌려갈지 모르는 일이죠.

여튼 어쩔수 없이

믿음에 대한 증명은 항상 어느 벽에 부딛치고 맙니다.
기억해보면.
교사인 저도, 조카를 둔 삼촌들도 가장 무섭고도 어려운 질문이

"왜?" 입니다.

---------------------불완전함을 찾는 일--------------------

한 주제에 대해서 딱 10번만 왜?라는 질문을 받아보면
어느 순간 오른쪽 어깨 2두와 3두 근육의 수축을 느끼게되죠.
하여튼 질문을 받다보면 결국엔
"그것은 그냥 믿으면 되는 거야"
라고 대충 이렇게 얼버부리고는 맙니다.


축구를 예를 들어보면
"왜 골을 많이 넣으면 이기는 것입니까?"

"야구는 왜에 2루를 밟기 전에 1루를 밟아야 합니까?"

라고 물으면,

이런것들은 참인지 거짓인지 증명 못할 뿐만 아니라
자꾸 물어보면 화까지 유발합니다.

----------------------  공   리  --------------------------

수학도 마찬가지입니다.
예를 들어 덧셈과 곱셈으로 자연수의 체계를 가지고 완벽한 체계를 만들어도
결국 증명 못하는 것이 나오게 마련입니다.
예를 들어 "왜 1+1이 양수일까요?"(페아노 공리-클릭)
라고 물어본다면 참으로 난감합니다.

하지만 물어본 사람이 충분히 난감할 만큰 이야기할 수는 있겠죠.

이런 질문을 위한 수학의 마지막 보루가 있습니다.
그것은 바로 "공리"라고 합니다.

양수 더하기 양수는 왜 양수인가요?란 질문은,
"자연수의 페아노 공리에서 우리는 참으로 인정하기로 했습니다"
라고 하며 더이상 더 깊게 들어가는 길을 막는 것입니다.

뭐 그렇다고 아무거나 공리로 붙이면 좋지않습니다.
공리가 생길수록 공리끼리의 무모순을 보여야 하며
결정적으로 너무 공리가 많으면 예쁘지(?)않습니다.

이런 이유에서 수학에서 불완전성이 생기게됩니다.
어떤 체계든 공리로 시작하기 때문에 그 공리가 참인지 거짓인지 구별할 수 없는 것입니다.

(사실 그게 증명가능한 명제라면 이미 공리라는 지위는 잃게 됩니다.)

여튼 공리가 없는 수 체계가 있을 까요?

결론 적으로 그럴 수 없습니다.

사실 당연한 이치입니다.

이에 관련된 정확한 이야기는
위대한 철학자이며 수학자인 괴델이 답을 하겠습니다.

그냥 읽어보면 참 어렵게 써놓았지만 풀어서 설명하면 크게 어려운 말이 아닙니다.

불완전성의 원리란 체계가 가장 깔끔하고 완벽한

즉, 무모순(모순과 무모순에 대한 설명 클릭)으로 어떤 산술체계를 만든다고 해도
결국엔 최소 하나인 참인지 거짓인지 증명 못할 명제가 나옵니다.

따라서 어떤 수학체계도

"100% 완벽하다."라고 하기 위해서는

1%라도 설명하지 못하는 것이 존재합니다.

다시 말하면, 100% 완벽한 수학적 진리란 이제 없는 것이다.
그저 참인지 거짓인지 모르지만 그렇게 믿는 것입니다.

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그냥 그렇구나.. 할 수는 있겠지만

단순한 결과가 아닙니다.

결국엔 우리는 어떤 것이 절대적 가치라고 믿어도

다시 말하자면 절대적인 참과 거짓을 구별하는 일은 개인적으로 가능할지 몰라도

그것은 증명하는 것은 불가능합니다.

우리 시대의 매체들이 매일 입에 달고 사는
"포스트 모더니즘"의 수학적 원리가  여기서 나온다고해도 과언이 아닙니다.
사실 진리의 상대성은 그리스의 소피스트에서 부터 이어져왔다고 할 수 있지만

진리의 절대성을 지지하던 수학이 갑자기 상대성을 바라보게 된 것입니다.

결론적으로 완벽하다고 믿은 모더니즘한 체계가
괴델의 불완전성의 원리에 의해 산산조각 나버립니다.
이미 힐베르트등 많은 수학자 과학자 미학자가 추구했던
"완벽한 진리"란 증명불가능하며

어떤 하나의 체계에 대한 목표는 최소한 한 편의 비약을 포함해야한다는 것입니다.

---------------------- 유클리드 기하학의 패배 --------------------

가장 큰 예로는 바로
"유클리드 기하학의 참패"입니다.

유클리드 기하학은 5개의 공리에서 출발했으며 서로 무모순이였고.
우리는 항상 이 5개는 진리라고 생각하였습니다.
그런데 불완전성의 원리에 따라서
증명도 못하고 반증도 못하는 하나를 살짝 틀어버리면 다른 세계가 펼쳐질 수 있습니다.

사실 유클리드 기하학은 연역을 지지하는 수학적 기반이기 때문에

이 체계가 유일한 세계가 아니라면 절대적인 세계가 아닌 다른 세계가 생성되는 것입니다.

다른 수학자들이 유클리드의 다섯 공리 중에 하나를 바꿉니다.
그것을 바로 평행공리라고 흔히 알고 있는  5번째 공리입니다.

어찌보면 당연하게 생각할 수 있겠지만
괴델의 불완전성의 원리에 따라서
이 5번 공리는 맞을 수도 있고 아닐 수도 있습니다.

그래서 평행선이 하나도 없는 경우(지표면)와

평행선이 여러개인 경우로 나누워 새로운 세계(우주)를 만듭니다.

나중에 다시 한번 이야기 하겠지만
이 3가지 체계가 전부 맞다고 할 수도 있으며 전부 틀리다고도 할 수 있습니다.
(실제로 3가지 체계가 전부 존재하는 경우가 많죠.)

누가 물어본다..
지금 쓴 이 글들이 사실입니까??
그럼 괴델이 대답할 것입니다.

서로 무모순인 이야기이지만
참일 지 거짓 일 지에 대한 답은....그럴 수도 있고 아닐 수도 있다

증명 불가이다.

한번쯤 의심해보시기 바랍니다.

당신의 믿음이 맞는지 틀린지
하지만 결국 그답은 똑같습니다.

그럴 수도 있고 아닐 수도 있습니다.