집합 part 9. 집합, 직관으로의 회귀 - 벤다이어그램

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결론 부터 밴다이어그램이란 벤(John Venn)이란 사람이 만든
집합에 대한 2차원 기하학 모델로
추상적이였던 집합을 모든 이의 수학으로 만든 장본인입니다.

현재 우리가 낮은 학년에서도
집합을 이해하고 계산해낼 줄 안다는 것은
이 밴다이어그램이 머리속에 그려지는 것으로 이해하기 때문입니다.

원리는 아주 간단합니다.
그림 같이 집합 A라는 것을
하나의 원(또는 도형)으로 그린다음에 A의 원소는 그 도형 안에
원소가 아닌 것은 도형 밖에 그립니다.

다시 말해 그림에서는 a는 A의 원소이고
b는 A의 원소가 아닙니다.
지도보는 것과 유사하다고 볼 수 있죠.

그런데 이런게 뭐 당연하다고 생각 할 수 있겠지만
당시 사람들에게는 그렇지 않습니다.
우리가 어떤 영역을 그리고 그 안에 그에 관련된 것을 넣는 사고가 쉽사리 이루어지지는 않았다는 뜻이죠.

특히 그 당시 집합론은 너무나 추상적이여서 많은 사람들에게 비판을 받던
칸토어의 집합론에 대해서 직관적인 이해를 도왔습니다.

정확히 1880년 [명제와 추론의 도식적, 역학적 표현에 관하여]라는 논문에 거재하였는데
사실 벤이전에도 이런 그림을 이용한 것은 있었으나(ex. 지도, 분류)
논리적이고 관계에 대한 구체적인 설명을 한 것은 벤이 최초입니다.

집합론의 원소와 집합과의 관계만을 이야기 한다고 생각하면
코끼리의 다리만 만지작 거리는 장님과 같습니다.
지금까지는 집합론의 논쟁거리에 대해서 설명했었는데(무한의 세계, 연속체공리, 러셀의 역리 등)
하지만 집합론의 중요한 한 면목은 바로 논리체계의 적립입니다.
(이 때문에 모든 고등수학과정의 처음은 집합론이죠.)

그런데 바로 이 논리적인 공간에 벤다이어그램이라는 새로운 도구는
너무 엄밀하고 객관적이였던 수학을 직관적이고 이해가능한 도식으로 바꾸어 준것입니다.

---------------기본적이 벤다이어그램의 모양----------------

1. 집합이 하나인 경우 : 밴다이어그램에서의 원소의 포함여부에 관한 경우로 많이 쓰입니다.

뭐 이 경우는 아까 위에서도 잠깐 이야기 했지만 원소의 포함관계를 직관적으로 볼 수 있습니다.
또한 전체집합까지 따지자면 여집합등도 표현되고
영역의 수는 1개이고 전체집합까지 그린다면 2개입니다.



2. 집합이 2개일 경우 : 이 경우는 우리가 가장 많이 봐온 경우입니다.

가장 쉽게 생각하는 벤다이어 모양이고
여기서 합집합 교집합 차집합등을 설명할 수 있습니다.
그리고 전체 집합까지 그렸을 경우에 우리가 좌절을 많이 했던 드모르간 법칙을
어렵지 않게 증명할 수도 있습니다.(밴다이어그램의 큰 이점 중 하나가 증명의 간편함입니다.)

또한 전체 영역의 수가 3개인데
전체집합까지 포함하면 하나의 영역이 더 생겨 4개가 됩니다.


3. 집합이 3개일 경우 : 수능에서 가장 많이 보는 밴다이어 그램이죠.

여기서 부터는 점점 복잡해보이기도 하는데 어려운 것은 없고
찬찬히 둘러보면은 그 영역의 의미가 보입니다.
그리고 영역의 수를 살펴보면 7개이고
전체집합까지 그리면 하나추가해서 8개가 되는데

1~3번의 과정을 보았을 때 대충 눈치를 채셨겠지만
밴다이어그램을 영역의 수로 보자면
전체집합까지 따졌을 때 집합의 개수 만큼 2를 제곱한 수가 됩니다.
즉
1개  /   2            = 2
2개  /   2 X 2      = 4
3개  /   2 X 2 X 2 = 8

여기에 전체집합이 없다면 하나씩 빼주면 됩니다.

---------------집합 4개의 벤다이어그램의 모양----------------

만약에 집합이 4개라면?
전체집합 포함해서 2 X 2 X 2 X 2 =16의 영역이 나오는 것을 확인해보겠습니다.

아마 대부분의 사람들은 4개 이상 집합의 밴다이어 그램을 본적이 없을 것 입니다.
나도 공부나 찾아봐서 알게 되었지 자연스럽게 접한적은 없습니다.
일반적으로 사실 모든개수에서 벤다이어그램을 그릴 수 있다고 알려져있는데
잘 그리지 않는 이유는 아래 그림을 보면 됩니다.

밴다이어 그램이 오히려 직관으로 판단하기에는 약간 난해해집니다.

자 아래의 그림이 4개일 때의 밴다이어그램입니다.

우리가 알던 A,B,C의 밴다이어 그램에 길게 늘어진 D라는 밴다이어 그램이 나왔고
한명 영역을 세어보면 전체 영역의 개수는 15개이며 전체집합 포함이면 16개가 됩니다.
(사실 하나의 집합이 늘때마다 영역이 2개의 영역이 쪼개진다 생각하면 더 이해가 됩니다.)

이렇게 보다보면 5개의 집합은
사실 모르는게 약일 수도 있겠습니다.

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벤다이어그램은 역시 "추상의 구체화" 혹은 "논리의 직관화"에 초점을 둡니다.
이는 복잡한 상황속에서 이런 도표를 이용해서 정리하고
논리 또한 그림으로 이해해 가면 오류를 줄여갈 수 가 있죠.

어찌보면 집합론의 논리주의적 사고와 집합론에 반대했던 직관주의적 사고의
중간정도의 위치를 차치하는 조금 흥미로운 부분으로 볼 수 있고
어떻게 보면 화해의 장이라고도 볼 수 있습니다.

더 흥미로운 것은 벤이란 사람은 수학자가 아니였다는 것입니다.
그러나 수학으로 보자는 문외한 사람의 작은 아이디어가
논리의 가장 깊은 집합론에 스며들었다는 것은 직관의 중요성을 다시 느끼게 되는 대목입니다.

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