노군의 수학 중독기

어떤 농장에서 어느날 아주 성질이 사나운 매가 있었는데.
항상 농장의 동물들을 괴롭혀 화가난 농부는 인부들을 시켜 그 새을 잡기로 했습니다.

그런데 이 새는 자신에게 다가 오면 도망가고
동물 우리에 사람이 있으면 절대로 들어오지 않았습니다.
그러다가도 우리에서 사람이 나오면 우리로 들어가 동물들을 괴롭히곤해
농부들은 이 새를 잡기로 합니다.

유심히 지켜보던  농부는 새가 나가는 사람을 보고 돌아오는 것이라는 결론을 내렸습니다.

그래서 새를 속이기 위해 이번엔 인부를 두명을 우리로 들어간 다음 한명만 나오라고 합니다.
하지만 두 인부가 들어가고 한 명이 나왔지만
새는 우리로 들어오지 않았고
나머지 한명의 하인이 우리를 떠나는 순간 우리에 들어가 또 동물들을 괴롭혔습니다.

하지만 농부는 포기하지 않고
3명의 인부가 들어가서 1명씩 나오라 하였습니다.
하지만 3명의 인부가 전부 우리을 나오기 전까지
역시 새는 돌아 오지 않았고
4명을 투입해서도 역시 작전이 실패하였습니다.

보통 이러면 포기하겠지만 화가난 농부는
다시 포기하지 않고 5명을 투입하였습니다.
역시 1명, 2명, 3명 나오도록 새는 돌아오지 않았습니다,
그런데 4명이 나오는 순간 새가 우리로 돌아왔고
우리안에 있던 마지막 인부가 이 말썽꾸러기 새를 잡을 수 있었습니다.

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이 이야기는 이 사나운 새가
사람수에 대한 인식이
1과 0, 2와 1, 2와 0, 3과 2, 3과 1, 3과 0
그리고 4와 3, 4와 2, 4와 1, 4와 0
그리고 5와 4, 5와 3, 5와 2 까지는 인식가능 하나
5와 1을 제대로 인식하지 못한 결과입니다.

이 이야기의 새는 4이상 부터는 그 전체적인 수를 제대로 인식을 못한 것입니다.
보통 똑똑한 새가 4~5까지는 구별하며
포유류도 종류에 따라 3~6 또는 10까지 구별하는 경우도 있으나
역시 그 이상은 제대로 인식하진 못합니다.

즉 그들에게는 4 또는 10 이상은 그저 큰 수로 인식되며 그 크기를 잘 인식 못한다는 것입니다.

사람은 어떨까요?
사실 사람도 한번에 인식하는 수는 물건의 크기와 개인차에 따라 상당히 크지만
20개 정도 부터는 한 눈에 그 수가 얼마인지 잘 구별하지 못합니다.
(사람의 단기기억은 3초 이내이며 직관은 그보다 더 짧은 찰나에 결정됩니다.)
(한번에 큰수는 기억하지 못해 3자리나 4자리씩 끊어 기억하는 전화번호를 기억하면 좋습니다.)

이런 부족한 인식을 소유한 사람이 엄청나게 큰 수를 인식하고 사용하는 것은 바로 숫자를 사용함으로 가능한 것입니다.


수를 잘 몰랐던 중세를 포함한 그 이전 셈의 보조도구(조개껍질 혹은 노끈등)가 없다면 큰 수를 인지 못한 시절이 실재로 존재했습니다.

수의 발견은 사람에게 큰 수 이상의 수를 정확하게 인지하고 다루는 중요한 발견이였습니다.

<~이전 / 다음~>

  "유리수와 자연수의 개수가 같다"라는
다소 믿기 어렵고 선뜻 이해되지 않는 사실에서
고대 다른 수학자들이 무한을 싫어했는지 잠시나마 이해할 수 있습니다.

이런 결과를 받고나면 왠지

'무한은 모두 같은 개수다'라는 다소 결정적인 생각이 들기도 합니다.

그러기에 다음 두 무한의 비교가 의미있을 것 같습니다.
바로 실수와 자연수의 비교입니다.

그럼 실수를 설명하자면
기본적으로 우리가 쓰는 모든 수라고 할 수 있고 기본적으로 수직선상의 모든 수라고 합니다.(더 자세한 설명은 다음에 작성하겠습니다.(데데킨트의 절단 등))

유리수와 자연수의 비교에서 처럼 약간의 작업이 필요합니다.

우선 먼저
0<a<1 구간안에서만 생각하겠습니다.

이때 구간안의 모든 수는
a = 0.xxxxxxxxx‥‥‥ 이라 표현 할 수 있습니다.

(예 0.5 = 0.50000000‥‥, 1/3=0.33333333333333‥‥)

우리가 처음에 약간 마음이 기울던 결과처럼

(아마도 수학에 관심이 있다면 다음 위의 가정의 이유를 알것이라 믿습니다.)

가정이니 만약 같다면 무리없이 짝(일대일 대응)이 지어질 것읍니다.

우선은 위 처럼 가정해 보면 이렇게 소수 하나씩 대응이 됩니다.

1 <-> 0.a₁₁a₁₂a₁₃a₁₄‥‥‥

2 <-> 0.a₂₁a₂₂a₂₃a₂₄‥‥‥

3 <-> 0.a₃₁a₃₂a₃₃a₃₄‥‥‥

4 <-> 0.a₄₁a₄₂a₄₃a₄₄‥‥‥

   .   .

k <-> 0.a₁₁a₁₂a₁₃a₁₄‥‥‥

   .

   .

이렇게 대응이 되어야 하고 가정에 의해서 일대일 이여야 합니다.

이제 원소 하나를 꺼낼 예정입니다.

예상대로 지금 위의 결론에 문제가 될 것입니다.

그 원소는 바로 다음과 같습니다.

이렇게 정의된 X에 대응되는 자연수를 찾을 예정입니다.

그런데 어렵이 않게 문제를 접할 수 있습니다.

X에 대응될 자연수가 없습니다,.

모든 k에서 a_kk ≠ x_k

가 되기 때입니다.

결국에는 X에 대응 하는 자연수를 찾지 못하니

결국은 처음에 가정했던 것과 다른 결론이 생겨버립니다.

(이런 증명법은 직접적인 증명이 어려운 증명에서 많이 쓰이는 방법입니다.)

하여튼 결론은 확실합니다.

자연수는 (0,1)구간의 실수 개수와 같다는 가정은 거짓입니다.

(0,1)을 포함 하는 구간도 자연수가 모두 커버 못하니

실수를 커버할 수 없는 것은 당연합니다.

(하지만 사실 (0.1)구간의 실수와 실수 전체의 개수는 같고 근거는 함수 y= tan(π(x+1/2))가 일대일 함수라는 것에서 알 수 있습니다.)

당연히 실수가 자연수를 포함하므로 다음과 같은 결론이 납니다.

이 결과는 지금까지(유리수) 자연수 보다 큰 무한이 없었지만

실수에 이르러서야 자연수보다 큰 무한이 나왔고 앞으로도 더 나올 수도 있다는 결론이 내려입니다.

우리는 무한이란 것의 신기함으로 가득한

힐베르트 호텔도 실수 만큼은 채울 수 없습니다.

다음 글은 이런 무한의 끝이 있을 수 있을까하는 면에서 작성하겠습니다.

<~이전 / 다음~>

이전에 자연수의 개수와 짝수의 개수가 같다는
다소 좀 이해하기 어렵지만 부정할 수 없는 결과를 내었습니다.
여기서 멈추지 말고 더 큰 수들의 개수를 비교할 필요가 있습니다.

그래서

라는 당연한 명제에 이제 도전하고자 합니다.(결론이 급하시면 맨 아래로)

먼저 자연수라는 것은 자연스럽게 생기는 즉, 우리가 어렵게 생각하지 않아도 나오는 기본적ㅗ인 수 입니다. 다만 정말로 그 확실한 정의는 다소 복잡합니다.
그러기에 자연수의 정의는 다른 글(링크 클릭)로 대신하겠습니다.

이제 유리수를 소개하겠습니다.

당연히 m=1이라고 하면 자연수는 유리수 안에 포함됩니다.

기본적으로 정수로 표현되는 분수 모두를 말하며
소수로 표현했을때
소수부분이 유한 하던지 아니면 순환하는 소수가 나오는 수를 말합니다.

유리수에 대한 기본적인 성질 중 하나는

실수라는 집합에서 보면 유리수는 조밀하게 이루어져 있다.
서로 다른 유리수 두개를 잡으면 그 사이에 무한한 유리수가 있습니다.(증명 클릭)

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  이런 성질을 보면

유리수와 자연수.. 개수 비교의 승자는 결정이 난것 처럼 보입니다.
하지만 우리는 당연하지만

비교할 가치가 있기에 다음 규칙을 생각할 수 있습니다.

1. 일단은 적어도 유리수가 자연수 개수 보다 많거나 같다.

이것은 유리수가 자연수를 포함하니 당연합니다.

2.  <유리수를 최대한 자연수에 맞추기>
만약 유리수가 n/m이고 서로소로 표현 되었다고 할때
n이 양수이면 2의 제곱수에 n을 음수라면 3의 제곱수에 m을 적용하고
m이 양수이면 5의 제곱수에 m을 음수라면 7의 제곱수에 m은 넣어 나오는 값들을 다 곱합니다.

그러니까 예를 들어

수학에서 가장 기본이 되고 누구나 한번쯤 한손에 놓고 주물러 보았을 집합!
최근 문제집 광고에서 보듯이(클릭/올해부터는 순서가 바뀌었지만,,)
수학 정석 및 문제집에는 10-가 앞쪽 1/10지역만이 검게 물들 정도로
대중의 수학적 열정을 다 쏟을 수 있는 단원입니다.

 이렇게 친철한 집합의 목적 중에 하나는 바로

입니다.
아마도  직접 셈을 하기 위해서는 다음과 같은 작업이 필요합니다.