노군의 수학 중독기

 개인적으로 "이과"적 관념을 갖고 있는 나로서는 철학과는 조금 거리가 있어, 어떤 문제에 대해서 지난 여러 사람들의 말들을 열거하면서 논평하는 일에 그다지 익숙지 않고, 익숙해지려 한 적도 없다. 그래서 나는 철학을 '똑똑한 말싸움'이라고 말하곤 했다. 하지만 수학을 오래 해오거나 혹은 오랫동안 흠모하면서 그 자체의 논리성에 대한 아름다움에서 헤어 나오기 어려웠고 점점 삶에 대한 수학적 적용 혹은 수학적 사고에 대해서 생각이 많아졌다. 그러던 중에 나에게는 '좌표의 창시자'로 더 익숙한 그 사람, 데카르트.

 하지만 모두에게는 코기토 명제로 익숙한 '데카르트'에 대한 글을 제의(@HansHoon에게)를 받고, 그의 책을 읽으며 그의 말들 앞에 서고 나니 철학 혹은 말싸움에 관심이 가게 되었다. 특히 수학을 하는 자로써 그가 가지는 사고의 흐름은 눈을 뗄 수 없는 멋진 구경거리였다. 그리고 그 구경거리에서 나의 느낌(수학)을 몇 자 적어보려 하지만 몇 번을 읽어도 나는 <성찰>에 대해 안다고 할 수는 없다. 그저 내가 이해하고 느낀 점을 적어볼까 한다. 데카드트가 의심을 제일로 섬겼으니 나도 나의 글을 맹신하진 않을 것이다.

 1. 악마의 가설과 꿈의 가설, 그리고 변증

  우리가 말싸움을 자주 하면 알겠지만, 일단 이기기 위해서는 자신의 논리도 참으로 중요하지만 그보다 더 중요한 것은 상대방의 논리에 일침을 가하는 것이다. 혹시 논리의 빈틈이 보일 때 그 사이를 파고드는 나의 생각은 상대방에게 긍정을 이끌기에 가장 좋은 무기이다. 소크라테스가 그랬듯이 말이다^[각주:1]. 데카르트도 말싸움 좀 한 것 같다. 그는 어떤 것을 정의하고 아는 '척'하지 않았다. 오히려 의심하고 배재하고 마지막엔 부정하면서 까지 자신이 믿는 것들을 공격했다. 그는 자신의 '믿음'에 창을 겨누면서 나올 수 없는 마지막까지 공격해 들어갔다.

 우리가 반대편의 모순을 이용하여 증명하는 방법을 변증이란 한다. 그것은 기초적으로 '명제'의 조건을 갖춘 상태에 이루어지는데, 명제란 것은 기본적으로 '가정'과 '결론'으로 이루어진다. 이때 직접적인 증명은 그 '가정'을 기반으로 '결론'을 완벽히 증명해 내는 것이다. 하지만 이 부분이 쉽지가 않다. 특히 그 분야가 철학 같은 인문적인 것으로 넘어가면 더욱더 그런데, 그 이유는 간단하다. 무엇인가 애매모호 하고 그 분야가 넓을수록 모든 것을 증명해야 기에 확증할 증거는 항상 작아지기 때문이다. 하지만 반대로 말하자면 부정할 증거는 얼마든지 만들 수 있다. 전체를 무너뜨릴 필요 없이 한 분야에 대한 '반례^[각주:2]'를 제시하면 되기 때문이다.

 그러기에 어떠한 주장을 펼칠 때에는 그에 관한 확실한 증거가 필요한데, 그 증거를 대기 위해서 데카르트는 가장 어려운 길로 들어선다. 바로 변증의 반대에 서는 것인데, 다시 말하자면 누군가 반증할 수 있는 구석을 자신이 직접 공격하면서 배제하는 것. 자신이 확신하지 못한 곳이 언제 '반례'의 공간이 될지 모르므로 확실치 않은 곳에는 '무조건 배제'라는 옵션으로 그 기반을 다져가는 것이다. 그 공격의 종착역은 신도 아닌 컴퓨터도 아닌 바로 자신, 그는 자기가 생각하는 것에 빗대어 자신을 존재를 이야기 한다.  특히 '꿈의 가설'^[각주:3]과 '악마의 가설'^[각주:4] 통해서 실재한다고 '믿는' 모든 것을 버리게 되는데, 그 사실에 들어가게 되면 내가 있는 한 낮의 밝은 이 카페 2층이 사실은 어두컴컴한 감옥 지하의 어느 독방일 수도 있다는 것이다. 부정의 끝은 결국 자신이 사유(생각)한다는 것으로, 자기 자신은 부정할 수 없는 마지막 원리를 얻게 된다.

코기토명제 :  "나는 사유한다, 그러므로 존재한다."

 모든 의심나는 곳을 다 틀어막은 데카르트가 마지막으로 도착한 곳이다. 그러기에 그는 더 이상 이 명제에 대해 의심하지 않는다. 이렇게 도착한 곳에 대해서는 데카르트는 자신한다. 그곳은 그가 생각하는 한 모든 곳에 대한 반례를 틀어막은 것이라고 판단하기 때문이다. 하지만 그래도 데카르트는 조심스럽다. 왜냐 아무리 의심하지 않으려고 해도 '의심'나는 구석이 생길 수밖에 없으니.

 2. 모든 것 이전의 관념, 공리 혹은 무정의

 이 코기토 명제에 대해 조금 더 말하고 싶은데, 과연 주체인 자신이 자기를 증명하는 일이 과연 가능한 일일까? 사실 그 일이 절대 쉽지 않다. 러셀의 역리(혹은 이발사의 역리 - 링크)에서 볼 수 있듯이 자신이 자신을 증명한다는 것은 논리적 모순을 낳을 수 있다. 그러기에 어느 정도는 여분을 두는 모습이 오히려 이 코기토명제라 생각한다. 그 여분을 놓는 모습이란 "사유하는 것이 존재한다"는 명제를 앞에서 살짝 비워두는 모습에서 볼 수 있다. 위의 코기토 명제는 연역적인 삼단논법의 결과물인데 결론이 나기위해서는 대전제가 존재해야 가능하다.^[각주:5] 그런데 데카르트는 그 대명제를 자세히 전파하지 않는다. 그 대전제라는 것은 바로, "사유하는 것이 존재한다."이다.

 비워둔 한 자리, 즉 사유와 존재에 대해서 다시 증명의 칼을 들여놓지는 않는다. 이는 "자연의 빛에 의한 진리 탐구"^[각주:6]의 대화에서도 잘 나오는데 데카르트는 우리가 정의를 내리면 오히려 더 모호해지는 것들이 있다고 생각한다. 다시 말해 단순하고 분명한 것이기 때문에 다른 것을 통해서가 아니라 그 자체로 알 수 있다고 생각한다. 역시 데카르트는 수학적인 사고에 정통했나 보다. 그것은 바로 수학에서 이야기 하는 무정의 용어라고 불리는 것들이나 혹은 공리라 불리는 것들이기 때문이다. 공리라 불렀을 때의 장점? 그것은 심판을 피하는 것이다.

 다시 말해 모든 것들에 근거를 들었을 때, 이어지는 논증이더라도 어느 부분 앞에서는 더 이상 증명할 수도 부정할 수도 원리가 나오게 된다. 판단이 확실하다는 가정 하에서 이 부분에 대해 증명 없이 믿는 것이다. 이런 것과 유사한 수학적 관념이 있는데 그것을 "공리"라고 부르고 어떤 것에 대한 정의를 다른 것에 빗대지 않고 그 자체로 받아들이는 것들은 수학에서 "무정의 용어"라 부른다. 정확한 개념은 아래에 접어놓겠다.

공리/무정의용어/공준 더보기

 

 만약 코기토 명제가 제일 철학 혹은 명제가 된다면, 그전의 명제 혹은 전제인 "사유하는 것은 존재한다."는 바로 공리가 되는 것이다. 여기에서 무정의 용어를 뽑아 보자면 바로 "사유"나 "존재"정도가 되겠다. 이는 상당히 중요한 요소이다. 어떤 것의 근거를 대는 학문으로 알고 있는 것이 바로 수학이다. 하지만 수학은 그 완벽함을 자의적으로 증명하는 '변명'으로 두지 않고 어느 정도 인정함이라는 '불완벽함'속의 '자명함'으로 갖는다.(더 자세한 내용은 불완전성의 원리가 된다. - 링크) 이 구조를 데카르트는 바로 '성찰'에 적용한 것이다.

 데카르트가 1성찰^[각주:7]부터 모든 것을 의심나는 것을 모두 버리기로 한 것은 오히려 자기가 꼭 인정해야할 '공리'를 찾기 위한 노력과 같다. 아마도 가장 이런 사고의 영향을 준 것은 유클리드 기하학일 것이다. 유클리드 기하학이라는 것은 '점, 선, 면'이라는 무정의 용어와 5가지의 공리(혹은 공준)으로 시작한다. 모든 사람들의 생각같이 선을 긋거나 길이를 가지고 증명하는 것이 아니라 단지 5가지의 주춧돌을 사용하여 논리적으로 이끌어 나간 것이다. 보통 우리가 기하학이라 하는 것은 중고등학교때 증명하는 삼각형이나 원의 그림을 그 논리성에 맞게 증명하는 것으로 알고 있는데, 오히려 기하학은 도형으로 '시작'한 것이 아니라 도형으로 '확인'되는 학문인 것이다.

 그러기에 데카르트의 성찰의 근본은 참으로 수학적이다.

 3. 코기토 - 존재와 사유 사이에 함수를 공리로 다시 세우다.

 제 3성찰에는 '신 증명'이라는 흥미로운 부분이 있는데, 그 '신 증명'의 기본원리가 재미있다. 여기에서 하나의 '공리'가 하나 더 발제 되는데, 그 공리는 '결과가 있다면 그것이 기초되는 원인이 '반드시' 존재 하며, 그 원인은 결과보다 적어도 같거나 커야 한다.'이다. 이는 함수에서 쉽게 발견할 수 있는 성질이다.

 즉 만약 X란 집합에서 Y란 집합으로의 함수 가 있다고 하자. 이때 Y속에 어떤 부분을 B라고 했을 때, B가 이미지가 되는 X의 원소 즉, 는 적어도 B의 크기보다 크다. 기호로 쓰자면 n()≥n(B) 이다.(이해를 위해 아래 접기에 그림으로  간략히 설명했다.) 데카르트의 원인과 결과에 대한 원리는 바로 이것에 의존했다. 또한 이 식을 이용하면 3성찰의 '신 증명'을 함수와 집합으로 표현 가능 한데 이는 다음과 같다.

이해를 돕기 위해 수식과 그림으로 다시 표현해본다.

1. n()≥n(B)을 그림으로 다시 표현

위 그림에서 Y의 부분 집합 B = {a, b}에 대해서 역상은 보내면 X의 부분집합 = { 1, 2, 3 }이 되는데, 이렇게 일대일 함수가 아닌 경우에는 가 더 크고 일대일 함수 인 경우에는 와 B의 원소 개수가 같게 된다. 이때 B가 내가 같게 되는 어떤 사유(혹은 관념)이라면,  그 원인이 되는 관념 B의 역상, 즉 원인은 사유에 영향을 미친 존재 가 되는 것이다.

2. 신 증명 수학적 표현으로 재구성

A. 신은 존재한다.

원인과 결과를 통한 피상적 실재성에 대한 함수

 : <X:존재> → <Y:명석 판명^[각주:8]한 사유> 라 하고^[각주:9]

나는 신이란 관념의 집합을 G, 나의 명석 판명한 사유를 C라 하자.

이때, 나의 사유가 존재 하므로 C ≠ ø이다. (여기서 G, C Y)

내가 신에 대한 명석 판명한 사유를 지니고 있으므로,

C G ≠ ø

따라서,

   ≠ ø

따라서 신의 존재 는 존재한다.

---------------------------------------------------------------------

B. 신의 존재는 나의 존재 안에 있을 수 없다.

이때 만약 신이 나의 존재에 속한다고 가정하자. --- (결론 부정)

먼저, 코기토 명제에 따라 나의 존재를

라 정의하자.

신의 존재가 나의 존재 속에 있다고 가정했으므로

 이고 함수의 성질에 따라, 이므로

n(I)가 된다  --------------(부정된 결론에 의한 결과))

신의 ‘관념(Y의 영역)’은 무한하고, 나의 ‘존재(X의 영역)’는 유한하다.^[각주:10]

따라서

 이므로

부정된 결론으로 얻은 결과와 모순이 생긴다.

그러므로 신의 존재 즉, 는 나의 존재 안에 담을 수 없다.

A, B 명제에 따라서 신은 나의 존재를 넘어서 존재한다.

 함수를 이용한 신 증명의 의문점 및 주목할 점에 대해서는 다음 글에 다시 언급할 예정이므로 이만으로 줄이도록 하고, 지금은 함수적인 요소가 적용된다는 것에 집중하자. 의미를 해석해보면 위 명제에서 쓰인 <존재가 원인으로 사유가 결과로 나타나는 이 함수>는 우리가 받아들였던 공리, 즉 ‘사유하면 존재한다.’와 같은 의미의 다른 표현인 셈이다. '원인과 결과에 따른 함수' 혹은 다른 표현이 되는 ‘사유하는 것의 존재성’이 함수의 성격을 띠면서 다른 부분에 적용이 되어 앞으로 증명될 많은 부분의 기반이 된다는 점으로 함수부분은 줄인다.

(참고 :글 중간에 편의를 위해 위의 함수를 존재-사유 함수라 하겠다.)

4. 사유를 기저로 [데카르트 공간]^[각주:11]을 완성하다.

 한편, 현대대수학에서는 어떤 공간을 만들어내는 원소를 가리켜 ‘기저’라고 한다. 간단히 말하자면 이 기저라는 것을 가지고 잘 주무르다 보면, 하나의 공간이 생성되고, 그 생성되는 공간이 어떤 성질을 갖고 어떤 의미를 갖는지는 기저의 성질에 달려있다고 할 수 있다. 성찰도 마찬가지이다. 존재-사유 함수 속에서 기만하지 않는 신과 <명석 판명한 사유>의 조합이 데카르트적 존재란 공간을 생성하고 이 기저가 전체 공간의 성격을 규정한다.

 여기서 혹시 궁금해 하는 사람들을 위해 선형대수학에서 기저에 대한 정의는 아래에 접어놓겠다.

기저 더보기

 특히 6성찰에서는 물질적 사물^[각주:12]의 존재성의 증명 전에"내가 명석 판명하게 인식하는 것은 모두 내가 이것을 인식하는 대로 신에 의해 만들어질 수 있음을 알고 있기 때문에..."란 구절을 보면 존재-사유 함수는 [기만하지 않는 신]^[각주:13]을 통해 잘 정의됨(well-define)을 얻고  존재에 대해서 내가 인식한 <명석 판명한 사유>란 곳으로 사영이 된다. 그러고 보면, 존재-사유에 대한 공리를 세운 데카르트는 이미 존재-사유함수 속에 기만하지 않는 신을 가정하면서‘신을 증명’이란 것 보다는 ‘신의 확인’을 목적으로 했음을 알 수 있다.(이는 다음글에 간략하지만 더 자세하게 살펴볼 것이다.)

 존재-사유 함수는, 존재의 부분 집합이 함수를 통해 사유의 집합으로 반영된다고 보고 있고(하나의 값보다는 공역의 한 부분이 더 잘 어울린다.) 그러기에 데카르트는 계속되는 존재를 사유의 역으로 증명한다. 또한 개인의 사유의 실수를 만회하는 것으로 존재성에 대해서 신의 역할을 언급하는 것은^[각주:14] 역함수에 대한 조심성이라고도 볼 수 있다.

 이런 면으로 처음부터 정리하면 존재-사유 함수 속에  자신을 집어넣어 사유하는 자아를 발견하고, 자신이 유한하고 신이 무한하다는 점을 들어 신들 생성했다. 또한 연속되고 계속되는 조합으로 참과 거짓(4성찰), 신의 재증명(5성찰), 영혼과 물질의 다름(6성찰)등의 공간을 생성한다. 그리고 그 성찰의 기본적인 모든 성질은 공리(명석 판명한 사유)의 성질로 통한다.

 데카르트는 존재의 기저를 제시하지는 않는다.^[각주:15] 아마도 신에게 모두 맡기는 것은 아닐까 한다. 하지만 이런 구조에서 유추해보자면 그의 생각을 잠시 상상할 수는 있다. 함수적으로 해석하자면 X에서 기저의 집합이 A일 때, f[A]는 Y의 기저가 된다. 이런 면을 이용해면, 만약에 존재의 X 집합에서의 기저가 존재한다면 그 기저가 존재-사유 함수를 통해 사영되면 사유의 집합 Y에서 기저가 된다.즉 우리의 사유의 기저를 잘 생각한다면 그 역인 존재의 기저도 상상할 수 있는 것이다.

 하지만 여기에서 오류를 범에 하면 안 된다. 왜냐, 위에서 언급한 기저의 보존은 그 역상에서는 성립되지 않기 때문이다. 그래도 우리가 존재의 기저를 새길 기회는 되기에 사유의 기저를 찾는 일을 무의미하다고 볼 수는 없다. 하여튼 역상에서의 오류를 피하려한 것인지 데카르트는 명석 판명한 자신의 존재와 다르게 물질적 사물의 존재에 대한 증명은 신의 의지에 살짝 기대어 봄을 느낄 수 있다.(6성찰-기만하지 않는 신)

5. 나의 한계? 그리고 데카르트의 한계?

 읽으면 읽을수록 새로운 분야가 눈에 계속 밟힌다. 참 매력적인 책이다. 어쩜 후대에 계속 데카르트의 성찰, 특히 코기토에 대해 계속 언급되는데, 그는 그것을 어찌 예언한 것인지 데카르트는 머리말에서 이 책을 제대로 읽으라 한다. 이해를 못할 이는 1000번을 읽어도 이해 못할 것이라 했는데, 사실 그게 '나'를 말하는 것 같아 사실 이글을 쓰는 데도 자신에게 의문스럽다. 그래도 두렵거나 부끄럽진 않다. 마지막에 그 데카르트도  "삶의 개별적인 일에 있어 오류를 범하게 된다는 것은 부인할 수 없으며...."라고 성찰을 마무리하지 않는가. 그도 그럴 것인데 나는 어쩌겠는가? 하여튼 '성찰' 한 권에서도 이리저리 수학을 읽고 싶은 내 고집은 아직도 진행 중이다. 혹시 나처럼 이렇게 억지스럽게 맞추어질 수학의 퍼즐이 있다면 언제든 공유하고 싶다고 말하며 이만 헛소리를 줄이고 싶지만~

 그래도 잊지 못할 한권이다. 그가 수학적 공리 구조로 펼쳐낸 논리는 수학을 배워가는 이에게  '날(라리) 수학'만 하는 나이지만 그래도 추천하는 바다.

성찰 - 자연의 빛에 의한 진리탐구 프로그램에 대한 주석 국내도서>인문 저자 : 르네 데카르트(Rene Descartes) / 이현복역 출판 : 문예출판사 1997.09.30 상세보기

  10월 중순 중간고사가 끝나고 이제 한참 성적 확인을 할 시간입니다. 이제 하나 둘 성적이 선생님의 손에 들려서 오면 하나 같이 모여서 자신의 성적을 확인 하는 모습은 어느 고등학교든 쉽게 접할 수 있는 모습들입니다. 자신의 성적 외에도 다른 학생의 성적을 확인 하고 싶은 녀석부터 점수에 만족하는 녀석까지 참 다양한 표정들을 확인 할 수 있습니다. 이 중에서 선생님에게 들려있는 성적을 무심한 듯 확인 하는 학생 중에서는 누구보다 조마조마한 표정을 짓는 녀석도 있습니다. 아이러니한 행동과 표정입니다.

1. ‘적어도’ 20점과 ‘겨우’ 4.7점

4.7점은 이번 3학년 2학기 종합고사 수학의 최저점입니다. 이 점수를 얻은 학생은 조용히 성적표를 확인 하고는 무언가 복잡 미묘한 표정을 지었습니다. 이 학생도 무엇인가 의도한 점수가 있었지만 그에 미치지 못한 것에 약간의 후회스러운 눈치였죠. 오늘 꺼내고자 하는 이야기는 여기서 시작합니다. 20점과 4.7차이에서 비롯된 한 학생의 확률적인 비극을 수학적으로 비교 분석해 보고자 합니다.

  이런 상황이 펼쳐지면 선생님도 학생도 이 상황을 아름답게 무마해 보려합니다. 교사는 약간의 장난기와 위로가 섞인 미소를 녀석은 민망함과 그에 내가 밀리지 않는 자존감의 미소가 서로 교차하죠. 내심 민망함을 이겨보려 어려가지를 살짝 물어 봤습니다. 수학 시험 준비는 어떻게 했던 것인지, 혹은 문제가 어떻게 느껴졌는지, 특히 목표 점수가 있었는지 말입니다.

목표점수와 다르게 나온 이유는?

  녀석은 자신의 성적에도 미소를 잃지 않으면서 이 상황을 설명합니다. “적어도 20점은 나왔을 것이라 생각했는데요. 겨우 4.7점이네요.” 이 학생에서 느끼는 이 학생은 목표는 적어도 20점이었습니다. ‘적어도’ 말입니다. 왜 20점인지는 묻지 않아도 명확합니다. 이번 시험은 객관식 100점이었고, 선택문항은 5개 이니 말입니다. 100/5=20 이란 식은 어렵지 않게 유추할 수 있습니다.

  그럼 무엇이 ‘적어도’ 20점을 생각한 녀석이 ‘겨우’ 4.7점을 얻게 되는 것일까요? 결과에 대한 문제는 그렇다고 하여도 원인은 명확합니다. 이는 학생의 말로 대신합니다.

  “괜찮아요. 국도를 타서 조금 잘못 탔나봅니다. 아! 고속도로를 탈걸……. 너무 아깝네요.”

   

2. 국도와 고속도로

  국도? 혹시 시험에 대해서 큰 기억이 없으신 분들을 어색할지도 모르겠습니다. 하지만 이 은유법은 저에게 아주 익숙한 단어로 수학이라는 과목 앞에서 작아지는 이들을 많이 봐온 저에게 매번 보는 현상입니다. 간단히 말하면 고속도로라는 것은 한 번호로 일자로 반듯하게 찍는 것이며, 국도는 찍기는 찍되 어려 번호를 마음대로 왔다 갔다 하는 방식을 말합니다.

  고속도로에 대해 안타까움을 표현하는 이유는 시험에서는 문항 보기에 대한 평균치가 존재해야 하기 때문에 한 번호로만 찍었다면 적어도 20점을 얻을 수 있었다는 것을 의미합니다. 국도로 찍었던 그 녀석은 쉽게 얻을 수 있었던 20점을 놓쳤다는 것을 안타까워하는 것입니다.

  이 현상은 참 흥미롭습니다. 사실 국도를 탔다고 해서 나올 수 있는 평균 점수가 다른 것은 아닙니다. 기댓값을 계산하더라도 5개의 선다형이라고 했을 때는 같은 20점을 기댓값으로 갖게 되는 것입니다. 하지만 그 결과는 너무나 다릅니다. 그럼 그 결과의 차이를 무엇으로 설명할 수 있을까요?

   

3. 기댓값과 리스크

  지금까지의 말을 정리하자면 일자로 찍은 ‘고속도로’와 임의로 찍은 ‘국도’의 답안의 점수의 기댓값은 같은데도 불구하고 결과는 너무나 다른 것을 말했습니다. 만약 4.7점의 학생이 일자로 답에 고속도로를 내었다면 분명 그 학생은 20점을 성취했을 것입니다. ‘반드시’ 말입니다. 이유는 바로 문항에 대한 비율을 동일하게 내는 지침 덕입니다. 하지만 반대로 말하자면 ‘고속도로’는 절대로 20점 이상을 맞을 수 없습니다.(동일배점과 동일 비율을 가정할 때 말이죠.)

  아까 학생의 말에서 ‘적어도’ 20점과 ‘겨우’ 4.7점을 언급했는데 이번에는 반대로 이렇게 말하라 수 있습니다. ‘해 보았자’ 20점 그리고 ‘잘하면’ 80점. 이렇게 말입니다. 이렇게 달리 말할 수 있는 근거는 바로 ‘리스크(risk)’때문입니다.

리스크는 위험성을 뜻합니다.

  리스크란 것은 위험성을 말하는 것입니다. 보통 투자에서 많이 쓰이는 용어로 많은 사람들이 계란을 한 바구니에 담지 말라는 조언에서 접하는 용어입니다. 바로 이 비유로 리스크를 설명하자면 계란이 한 바구니에 전부 담겨 있을 때 놓치거나 할 때 바구니 안의 모든 계란이 한 번에 깨질 수 있습니다. 하지만 나눠담게 되면 그 위험성을 나눌 수 있는 것이지요. 하지만 나누면 나눌수록 더 신경 써야 합니다.

  4.7점의 녀석에게서는 기댓값을 이야기 하는 것이 아니라 바로 이 리스크를 이야기 하는 것이 더 적당합니다. 녀석은 안정적인 고속도로 즉, ‘적어도’나 ‘반드시’ 얻을 수 있는 20점을 포기 하고 국도를 달리므로 그 위험성을 크게 만든 것입니다.

   

4. 한 바구니의 계란과 일자로 찍은 정답

  오해할 수 있는 것이 이미지 상 한 바구니속의 계란과 한 줄로 밀어 넣은 정답이 같게 보일 수 있습니다. 하지만 이는 약간의 오해의 결과입니다. 보통 적은 리스크의 답은 분산이라고 말 할 수 있습니다. 이는 편차와 리스크가 강력한 관계가 있다는 뜻입니다. 하지만 리스크에 대한 것은 사실 표준편차란 하나의 개념만으로 환원해서 설명하는 데에는 무리가 있습니다. (표준편차에 대한 설명은 더 보기로 접어놓겠습니다.)

표준편차

  한 바구니에 넣은 계란과 한 줄로 찍은 답(고속도로) 둘 모두 표준편차가 거의 없는 상태입니다. 즉 하나의 사건에서 일어나는 평균에서 벗어날 가능성이 없다는 것입니다. 하지만 해석은 완전히 다릅니다. 계란이 피해야 하는 것은 깨지는 것, 즉 실패에 대한 리스크에 대한 표준편차가 없는 것이며, 한 줄로 찍은 답은 성공에 대한 리스크에 대한 평차가 없는 것입니다. 그렇기에 둘은 편차가 없는데도 불구하고 리스크에 대해서 다르게 평가되는 것입니다.

리스크 관리는 생활의 많은 선택에서 필수입니다.

  다시 말하자면, 경제학에서의 여러 개 바구니에 담는 계란은 위험성에 대한 표준편차(분산)를 늘리는 것이 바로 리스크를 줄이는 것이라면, 답을 찍어서 점수를 얻기 위해서는 즉 성공에 대한 편차를 줄이는 것이 리스크를 줄이는 일입니다.

   

5. 리스크에 대한 당연한 이야기

  결론적으로 편차를 늘리는 것만이 리스크를 줄이는 일차적인 것이 아니라 위험성에 대한 높은 편자 그리고 성공에 대한 낮은 편차를 고려하는 것이 진정한 리스크 관리라고 볼 수 있습니다. 당연한 이야기 이지만 간단히 정리하면 위험성을 넓게 성공은 좁게 형성하자는 것입니다.

리스크관리는 실패에 대한 관리 뿐만 아니라 성공에 대한 관리를 포함합니다.

  하지만 바구니와 계란으로 암기로만 인식하는 리스크 관리는 어쩜 더 큰 리스크를 안고 시작하는 것 일 수도 있습니다. 경제학의 계란이야기와 교실의 4.7점 이야기는 위험성과 성공의 편차라는 양면의 리스크 관리를 통해서 행동의 범주를 정하는 것이 현명할 것을 말해주는 좋은 예입니다.

  물론 20점이라는 기댓값에 대해 좀 더 나은 결론을 위해 10개의 문항을 일자로 찍고 10개의 문항을 임의로 찍으라는 것이 결론은 아닙니다. 누구든지 좋은 결론, 즉 성공적인 완성을 위해서는 편차에 휘둘리지 않는 것이 중요합니다.

  경제학에서 말하자면 ‘확실한 정보’가 될 테고, 중고등학생 혹은 대학생에게는 그 과목을 찍기 전에 정확히 맞힐 수 있는 노력과 능력이 먼저일 것입니다. 그것이 고속도로냐 국도냐의 문제를 넘어 진정으로 리스크를 줄일 수 있습니다.

  리스크에 대한 당연한 이야기로 마무리 합니다.

“리스크라는 편차의 확률게임 보다 능력이 우선입니다.”

능력은 리스크 관리의 첫번째 입니다.

P.S  임금님 귀는 당나귀 귀

음.. 수학의 한 문제에서 정답률 0%가 나왔습니다.....

교사 하면서 처음 본 것이라 신기하네요..... 아 아무에게도 말하지 말라는데 너무 알리고 싶어 글로 남깁니다.=_= 참고로 13명이였던 이 반에서 정답률이 0%가 나올 확률은 대략 0.055%로 1/25 정도로 그렇게 불가능한 일은 아닙니다만, 경력이 10년 넘은 부장님도 처음 만나보는 일생에서의 한번의 만남이라 이렇게... 아무도 없는 숲에서 외칩니다.

정답률 표입니다.ㅎ

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 많은 주변인들에게 문의를 받는 수학 문제 중 하나가  "0.9999······=1"이라는 것입니다. 9가 한없이 이어지는 이 수가 과연 1과 동일한 것인지에 대한 것은 논란이 많죠. 분명히 모양이 다른 두 개의 값이 같다는 것은 생각하기 어려운 일이었습니다. 특히 이것은 1/2=2/4와 같이 같은 의미의 다른 표현 혹은 계산의 결과가 아니라. 확연하게 다른, 특히 1이 더 큰 수로 보이는 이 명제는 많은 이에게 의심을 받는 경우가 많습니다.

한없이 이어지는 수의 값은 어떻게 구할 수 있을까요?

 이를 쉽게 증명하는 이는 보통 “1/3 = 0.333······이므로 양변에 3을 곱하면 0.9999······=1이다.”라고 증명합니다. 하지만 이는 정확하게 증명하지 못한 하나가 남습니다. 그럼 정말 ‘1/3 = 0.333······’인지 말입니다. 적어도 무한번 나눗셈이 가능한지 부터가 문제이죠. 그렇기에 이 증명법은 단지 문제의 어려운 것을 잘 감추어 놓은 것^[각주:1]뿐입니다.

1. ‘무한’의 덫

 위의 이야기에는 중요한 단어를 뽑아 올 수 있습니다. 그것은 바로 ‘한없이’입니다. 이 단어는 우리가 일상에서 수도 없이 써온 말입니다.(방금도 ‘한없이’의 비슷한 표현인 ‘수도 없이’가 나왔죠.) 우리는 이 말을 일단 ‘무한’이라고 합니다.(무한 = 한이 없다.) 같은 말이지만 왠지 ‘무한’이 더 간지 납니다.

 물론 우리는 본능적으로 무한의 뜻과 느낌을 알고 있습니다. 해가 지는 바다 끝 수평선에서 상상되지도 않는 거리의 별에서 그리고 남은 제대 날짜 앞에서. 하지만 이 모든 예는 사실 ‘한없이’가 아닙니다. 수평선의 끝엔 아메리카가 있었고, 국방부 시계는 지금도 제대를 향해 달려갑니다. 우리가 끝도 없다는 뜻으로 ‘한없이’라는 단어를 사용하지만 실재로 그 단어를 접하기는 어려운 것입니다.

제대를 위한 국방부의 시계도 결국 유한입니다.

 그렇기에 막상 ‘무한’을 맞이하면 상식에 벗어나는 일이 많습니다. 0.9<1 이고 0.99<1 이며 0.9999999<1 인데, 유독 무한이라는 단어가 접해지는 ‘0.9999·····’은 1과 값이 같아진다는 것입니다. 무한에서 마라토너는 거북이 랑의 달리기경주^[각주:2] 에서 전혀 이길 수 없는 것 같은 그런 환상도 제공하기도 합니다.(이 이야기는 이 링크를 참고하시기 바랍니다.)


2. 무한을 말하는 법

 그럼 무한을 수학적으로 정확히 정해지고 싶어집니다. 물론 그 과정은 상당히 중요한 과정입니다. 결론부터 이야기 하자면 ‘무한 = 유한이 아니다.’입니다. 더 엄밀하게 말하는 정의는 지금 다룰 필요성이 적어 다른 글의 링크로 대신합니다.(링크) 우선은 “한없이 크다.” 정도로 알고 있다 해도 큰 문제는 없습니다.

 정의가 되었으니 이것을 한번 써보고 싶어지는데 숫자 십은 ‘10’ 만은 ‘10000’ 억은 ‘100000000’로 쓸 수 있지만 1억을 1억 번 곱한 것 보다 큰 것인 ‘무한’은 이곳에 적기에 공간이 너무나도 좁습니다.  그러기에 무한의 수학적 기호를 정할 필요가 있습니다.

8을 뉘어놓은 모습으로 우리는 무한을 표시합니다.

 그 기호는 이미 정해져 있죠. 바로 숫자 8을 옆으로 뉘어놓은 것 같은 모양인 ‘∞’입니다. 원이 두 개 겹친 이 모양은 영원히 반복한다는 상징을 담고 있습니다. 그 상징성이 직접적으로 쓰이는 경우도 있습니다. 예를 들어 영화 ‘뷰티풀 마인드’에서 주인공인 박사가 자신의 정신병과의 끝없는 싸움과 극복을 상징하며 자전거 바퀴로 그리는 무늬가 이 무한의 상징 ‘∞’입니다.


3. 무한을 다루는 법

 사실 수를 다루는 것은 상당히 쉬운 작업입니다. 예를 들어 ‘2x+1’이란 것의 ‘x’에 ‘10’을 넣으면, ‘2*10+1’이고 계산하면 ‘21’입니다. 그럼 여기에 ‘∞’을 집어넣을 수 있을 까요? 다시 말하자면 ‘2*∞+1’이란 것이 있을까요? 그럴 수 있다면 과연 2*∞+1은 무엇일까요?

 사실 무엇이라고 말할 수 없는 것이 되어버립니다. 그런 것은 없기 때문입니다. 정확히 말하면 그런 표현을 쓰지 않습니다. 이는 큰 문제이며 중요한 점입니다. 앞으로 이 무한을 이용하서 우리는 수많은 이론을 펼쳐갈 것입니다.

 어떤 값은 근사치에 도달하기도 하고, 비교를 하기도 하면 무한히 반복되는 계산식의 값을 구하기도 합니다. 하지만 바로 해결 할 수 어려움이 있습니다. 이 작업의 대상이 미지수인 x에 넣는 작업조차 못하는 것이 바로 ‘무한’이기 때문입니다. 그래서 하나의 아이디어를 통해서 이를 해결할 것입니다. 우선 다음을 기초로 합니다.


 위 방법에서 가장 중요한 포인트는 ‘가까워지는 값’을 구하는 것입니다. 그 방법을 이제부터는 [극한]으로 부를 것입니다. 영어로는 고등학교 수학 시간 속 너무도 익숙한 단어 ‘limit’입니다. 이 극한이 바로 무한을 다루는 가장 기본적인 툴(tool)입니다. 즉 이 ‘극한’을 통해 무한을 다루는 것입니다.


4. 과연 ‘1= 0.999·····’인가?

처음의 문제로 돌아가 봅시다. 정말 1= 0.999····· 인지 말입니다. 그럼 위의 방법대로 단번에 무한번인 0.999·····을 구할 수 없습니다. 즉 천천히 생각하는 것입니다. 0.9 그다음에 0.99, 0.999, ····· 이렇게 하나씩 구해서 그 규칙 혹은 가까워지는 값을 구하는 것이 진정으로 무한을 다루는 문제입니다. 더 자세한 방법은 아래의 절차를 따릅니다.



 이렇게 계산을 하면서 1에 가까워짐을 보이는 것입니다. 그런데 이게 정말인지는 아직도 의문으로 남을 것입니다. 아쉬움이 있지만 아직은 바로 해결할 수는 없습니다. 그 이유는 이 문제는 지금까지의 것으로는 설명하기는 부족하기 때문입니다.

수평선과 저 별에 가기에는 아직 재료가 부족합니다.

 그래서 다음 글에서는 극한(limit)에 대한 정확한 쓰임을 통해서 이 공포의 문제 ‘1= 0.999·····’에 대해 더 핵심적인 방법을 이어가도록 하겠습니다. (만약 정말 이 문제에 대한 해답을 원하시면 공식으로 정리해 놓은 이 링크를 클릭하시기 바랍니다.)

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이전 글에서는 자연수에서 정수로의 확장이 단순히 음수와 0의 추가가 아니라  <하나의 집합, 하나의 연산>의 쌍을 의미있는 구조(군, group)으로 만들기 위해서 필연적으로 확장을 하게 된 것을 이야기 했습니다. 즉, '자연수'에서 가장 기초적인 연산인 '더하기'를 더 의미있게 활용하기 위해서 자연수에 음수와 0을 더해 '더하기'에서 완벽한 집합을 만들었는데 그 집합이 바로 '정수'입니다.

다시 말하면 정수는 '더하기'에서 완벽한 구조를 이룬 것입니다. 사실 여기에서도 충분한 만족을 얻을 수도 있습니다. 하지만 우리가 쓰는 사칙 연산에서 우리가 완성한 것은 '덧셈과 덧셈의 역 연산인 뺄셈' 정도 입니다. 따라서 우리는 곱셈과 나눗셈에 대해서 더 알아가고 확장할 필요가 있습니다.

즉 이제 부터 주인공은 '더하기'에서 '곱하기'로 넘어갈 시점인 것입니다.

 
16. 연산 '곱하기'란 무엇인가 - 곱하기(곱셈)

우리가 연산 곱하기에 대한 기억은 대부분 동일하게 느껴질 것 입니다. 어린 시절에 부모와 아이의 첫번째 벽이 되기도 하는 '구구단'입니다. 구구단을 달달 외우면서 곱셈을 하나의 문자표처럼 외우면서 머리속에 '삽입'하게 되고 심지어는 그 삽입에 대한 확인을 이용한 '놀이', 구구단 게임을 통해서 상대방을 무안하게 하거나 집단의 즐거움으로 이용하기도 합니다. 물론 구구단을 통한 곱셈의 '삽입'은 복잡한 계산으로 난무한 세상을 살아가는데 필수 조건이긴 합니다만 이미 암산의 대상이 되어버렸죠.

잘 생각해보면 우리 일상에서 느껴온 곱셈은 구구단을 넘기가 힘듭니다. 또한 곱하기는 그 정의를 도입할 때 단지 '더하기의 축약판'이라는 점으로 처음에 적용하였습니다. 다시 말씀드리자면 2 X 3에 대한 평가를 어떻게 정의합니까? 대부분의 사람은 2를 3번 더한다고 어렵지 않게 이야기 할 수 있습니다.

이처럼 곱셈은 쉽게 더하기를 반복계산으로 정의한다고 볼 수 있습니다. 하지만 이것만으로 곱셈이 그 자체로써 연산의 위상을 얻을 수 없습니다. 더 복잡하기만 할 뿐 그저 외우는 '삽입'대상으로 느껴질 뿐입니다. 하지만 이제는 곱셈이 하나의 유연한 연산으로의 도약을 꿈꿀 수 있습니다. 아니 그 도약이 수의 구조상 아주 중요합니다.

그러기에 이 정수라는 더하기에 대한 완성을 이룬 구조에 곱셈을 다시한번 상기시키고자 합니다. 먼저 곱하기에 대한 정의가 더하기의 반복계산이란 것에서 조금 벗어날 필요가 있습니다. 물론 덧셈의 경우에서 처럼 이 과정을 상당히 복잡한 과정이고 그 과정이 불필요합니만 정확한 정의를 페아노 공리측면으로 아래에 조금만 접어 놓겠습니다. (정신 건강상 보지 않으셔도 좋습니다.)


페아노 공리의 곱셈의 정의


17.  연산 '곱하기'의 결합성

      
이 모든 정의에 간단히 넘어가더라도 무엇보다 중요한 사실 하나는 곱하기가 더하기를 이용한 정의를 갖지만 보조 연산으로 남는 것이 아니라 하나의 연산으로 개별적으로 정의된다는 것입니다. 이제는 더하기 뿐만 아니라 곱하기도 하나의 당당한 연산으로 서게 되는 것입니다.

하지만 몇가지 연산으로써 의미가 있는지에 대한 검증이 필요합니다. 그중에서 가장 먼저 시행해 볼 요인은 바로 곱하기가 결합법칙을 성립하는 것인지에 대한 것입니다. 결합법칙에 대해서 이 전에 짧게 그  중요성을 이야기 한 적이 있어 자세한 설명은 링크(링크)로 대신합니다.(결합법칙에 대한 링크 / 구조에 대한 링크)

하지만 간략히 설명하면 결합법칙이란 것은 임의의 정수 A, B, C를 고를 때 곱하기에 대해 AX(BXC)=(AXB)XC 가 성립되는 것입니다. 사실 이 성질이 성립함을 보이는 것은 페아노의 공리를 통하면 약간의 인내가 필요하지만 어렵지는 않게 증명할 수 있습니다. 또한 직관적으로도 금방 이 성질이 곱하기에서 문제 없음을 알 수 있죠.

결합이 가능하다는 것은 집합위에서 자유로운 연산이라는 것입니다.

이에 연산으로 곱하기는 당당히 이름을 올릴 수 있습니다만, 이것으로 확실한 독립을 보장할 수 없습니다. 사실 연산을 만드는 일은 상당히 쉽습니다. 규칙이란 것이 만들기만 하면 되는 것입니다. 하지만 곱하기가 가장 기본 연산인 +와 함께 중요한 하나의 연산으로 대우 받는 이유는 무엇일까요?


18. 곱하기를 중요하게 하는 요인 - 분배법칙 (배분법칙)

수많은 연산중에서 곱하기를 주목하는 이유는 무엇일 까요?  단지 그냥 더하기의 반복 계산을 쉽게 계산하기 위한 하나의 구조일 뿐일까요? 이 답을 하기 위해서는 또 하나의 구조를 단단히 하는 방법을 언급할 필요가 있습니다. 이전에 설명했던 군(group)과 마찬가지로 복잡한 구조적인 조건을 제시해야 합니다.

그 중하나가 바로 위에서 제시했던 결합법칙입니다. 그리고 곱하기를 특별하게 만들어주는 요인은 바로 '분배법칙(배분법칙)' 입니다. 아마 대부분 수학책에서 한번쯤은 배운 내용이고 또한 열심히 배운 분이라면 '이게 뭐 대단한 것이지?'란 생각을 하실 것입니다. 하지만 단지 수능에 나오지 않을 뿐이지 분배의 법칙또한 상당히 중요한 것입니다.

우선 분배법칙의 정의는 다음과 같습니다.


하지만 이 관계가 갖는 구조적인 중요성에 대한 언급은 글의 길이 관계상 다음글로 미루겠습니다. 하지만 곱하기에 대해서 결론부터 이야기 하자면 곱하기는 더하기와 아무 밀접한 관계(분배법칙)을 갖으면 그 스스로도 하나의 연산으로 온전히 설 수 있는 힘(결합법칙)이 있는 중요한 연산이란 것입니다. 이제 곱하기를 중심으로 수 체계가 재정립됩니다.

이제 진정한 곱하기의 역습이 되겠습니다.

이제 더하기과 곱하기는 동등한 입장에서 구조를 완성합니다.

1. 결합법직의 정의

* 가 집합 A에서의 연산일 때, 집합 A의 원소 x, y, z를 임의로 선택했을 때 다음이 성립하면 연산 *가 집합 A에서 결합법칙이 성립한다고 한다.

조건 : x*(y*z) = (x*y)*z

2. 결합법칙의 중요점

연산이란 것은 우리가 쉽게 사용하는 것이지만 사실 연산이란 것은 함수의 일부분이다.
특히 함수 중에서 하나의 쌍을 하나의 값으로 보내는 함수이다.
(예 '+'는 (2, 3)을 5로 보내는 함수이다.)

즉 어떤 연산이든 한 쌍의 원소사이에서만 존재한다. 하지만 우리가 더하기를 보더라도
2+3+5를 바로 말할 수 있다. 혹은 2x3x5를 바로 말할 수 있다. 이런 이유가 무엇인가.
이렇게 쓸 수 있는 이유가 바로 결합법칙이 성립함이다.

더하기과 곱하기가 결합법칙이 성립하기 때문에 앞의 두개에 대해서 먼저 연산하든
아니면 뒤의 두개부터 연산하든 상관없이 같은 값을 낸다.

따라서 굳이 '괄호'로 연산을 한 쌍씩 나눌 필요없이 괄호를 생략하고 연산을 연이어 쓸 수 있다.
즉 연산은 해당 집합 위에서 자유를 얻는 것이다.

따라서 어떤 연산이 구조에서 자유롭기 위해서는 결합법칙이 상당히 중요하다.
결합법칙이 없다면 그 구조가 하나의 규칙을 만들어가기 어렵다.
하나의 작은 조건이지만 이 조건을 꼭 통해서야 완벽한 연산이 될 수 있기에
[결합법칙]에 쓰임보다 더 중요한 의미를 부여하고 싶다.