1+1=2 ? - 자연수에 대한 정의, 페아노 공리!

이런 저런 이유로 블로그에 수학에 관련된 글을 올리면서
가장 많이 언급한 수체계 1위는 역시 자연수입니다.

수많은 이름중에 왜 자연수라고 했을지는 어렵지 않게 상상이 됩니다.
사실 영어로 natural number라고 해서 자연수로 번역한것으로 예상됩니다만
영어 'natural'이든 한글(한자) '자연'이든
자연수의 이름에는 "자연스러운"이란 의미가 들어간 것은
<자연스럽게 발생한> 수이기 때문입니다.

다른 수 체계와는 다르게
<자연스럽게 발생한>수는 인위적이 아닌 혹은 교육의 결과가 아닌
경험과 감각으로 발견되었습니다..

우리가 생각하는 대부분의 수이고
수량 순서 크기등 분야를 가리지 않고 모든 곳에 스며들어져 있는 자연수를 분석해보겠습니다.

--------------------------1+1=2?--------------------------------

어쩜 주변 사람들에게
수학을 살짝 전공했었습니다~ 라고 소개를 하면
자주 물었던것 중에 하나가 바로

"1+1은 왜 2인가?"였습니다.
이런 질문은 참 상대방을 당황스럽게 하는데 말이죠

그럼 뭔데라고 물어보면 대답은 다양합니다
1+1 = 창문 이라고 귀엽게 내팽개치는 개그나
1+1 = 1     이라는 감성적인 물방울 철학과
1+1 = 3     이라는 로멘틱한 19금 용어를 던지는 못난 놈 들

어떻게 보면 다 정답니다
바로전 괴델(이분 엄청 언급되네요..)께서는 그러셨으니까..

그래도 우리가 자연수에서 왜! 왜그런지 알아야 하므로
^^

그 답을 드리겠습니다.
일단 자연수가 대체 뭐라 할 것인가 부터 봅시다^^

-------------------------페아노 공리---------------------------

페아노란 분께서 말이죠!
당연하다고 생각되는 것을 다시 정리 해서 공리화 해주셨습니다.
여러개의 공리를 펼쳐주셨는데
그중에서 자연수 부분만 잠깐 설명해 드리겠습니다.(나머지 부분은 심화로 링크하겠습니다)

N이라는 집합이 있습니다.
S(n)은  N위의 함수입니다.

[N1] 1은 N의 원소이다. [N2] n이 N의 원소라 할때 모든 n에 대하여 S(n) ≠ 1 [N3] S란 함수는 1:1함수 이다        즉, n,m이 N의 원소라 할때 S(n)=S(m) 이면 n=m이다 [N4] X가 N의 부분집합이라고 하자        만약 1∈ X 이고               n∈ X  ⇒ S(n) ∈ X 이면        X = N이다

------ 1은 자연수이다. ------ S라는 함수를 통해 1이 될 수 없다. ------ 무조건 다른 원소가 나온다. ------ 1부터 연속적으로           S를 계속 적용하면 자연수가 된다.

 위의 네 조건을 만족하면 N을 자연수라 하고
이때 다음과 같이 정의합니다.
S(1) = 2
S(2) = 3

S(3) = 4
S(4) = 5

       .
       .
       .
       .

-----------------------해석---------------------------------

언제 부터인가 수학이 영어도 아니면서 해석하게 되네요.
잘 이야기 해보면
1은 자연수입니다. (요새는 확장된 자연수로 0으로도 시작하기도 합니다.)

그리고 S(1)이라는 것은 간단히 말하면 "1 다음"이라고 생각보면 좋아요

결론은

1 다음은? 2 라고 쓰자!! 하는 것입니다.

즉,
S(1)=2이란 것입니다.
S(S(1)) = S(2) = 3
1다음에 다음은? = 2의 다음! = 3
다음다음다음을 반복하면서 가는게 바로 자연수 입니다.

-------------------------1+1=2가 맞는가?-----------------------

자연수 덧셈을 이렇게 생각 합니다

n,m이 자연수라고 하면 덧셈은 다음과 같이 정의 합니다!

[A1]  n + 1 = S(n) [A2]  n + S(m) = S(n+m)

------ 1을 더한 다는 것은 n의 다음수 ------ S(m)을 더할 때는 n+m의 다음수

이건 또 머냐!! 버럭 하시겠지만

이제 결론 입니다
1 + 1 = S(1) 입니다(A1에 의해서)

그리고

S(1)은 2라고 했으니  1+1=2인것입니다!!

다른 것도 해볼까요?
3+2 = S(3+1)
      = S(S(3))
그럼 3의 다음 다음이니 5가 됩니다.

---------------------------결론?------------------

뭐 간단한 것을 어렵게 설명하냐 하겠지만
처음 '1+1이 무엇인가?'라는 질문이
사실은 상당히 심오하고 어려운 질문이였습니다.

요약하자면
자연수라는 거.. 자연스럽지만!
쉽게 보아서는 않되는 것이며

아직도 1+1=2인가를 질문한다면.. 저는 위에서 부터 다시..ㅜ_ㅜ
마음속의 1+1이 무엇이든 그것이 정답입니다!

1×1=1도 말씀드릴까요?(자세한 이야기는 생략하고 곱셈의 정의는 링크를 클릭하세요)
나중에 설명하고 그냥 이만 줄이겠습니다.