결합법칙의 정의와 존재 가치

1. 결합법직의 정의

* 가 집합 A에서의 연산일 때, 집합 A의 원소 x, y, z를 임의로 선택했을 때 다음이 성립하면 연산 *가 집합 A에서 결합법칙이 성립한다고 한다.

조건 : x*(y*z) = (x*y)*z

2. 결합법칙의 중요점

연산이란 것은 우리가 쉽게 사용하는 것이지만 사실 연산이란 것은 함수의 일부분이다.
특히 함수 중에서 하나의 쌍을 하나의 값으로 보내는 함수이다.
(예 '+'는 (2, 3)을 5로 보내는 함수이다.)

즉 어떤 연산이든 한 쌍의 원소사이에서만 존재한다. 하지만 우리가 더하기를 보더라도
2+3+5를 바로 말할 수 있다. 혹은 2x3x5를 바로 말할 수 있다. 이런 이유가 무엇인가.
이렇게 쓸 수 있는 이유가 바로 결합법칙이 성립함이다.

더하기과 곱하기가 결합법칙이 성립하기 때문에 앞의 두개에 대해서 먼저 연산하든
아니면 뒤의 두개부터 연산하든 상관없이 같은 값을 낸다.

따라서 굳이 '괄호'로 연산을 한 쌍씩 나눌 필요없이 괄호를 생략하고 연산을 연이어 쓸 수 있다.
즉 연산은 해당 집합 위에서 자유를 얻는 것이다.

따라서 어떤 연산이 구조에서 자유롭기 위해서는 결합법칙이 상당히 중요하다.
결합법칙이 없다면 그 구조가 하나의 규칙을 만들어가기 어렵다.
하나의 작은 조건이지만 이 조건을 꼭 통해서야 완벽한 연산이 될 수 있기에
[결합법칙]에 쓰임보다 더 중요한 의미를 부여하고 싶다.