수 part 4와 1/2. 다시 정리

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(2년만에 블로그를 쓰는 것 같습니다...)
(다소 내용이 복잡해지는 것 같아 이전 글을 한번 총 정리하려 합니다.)

우리가 이름으로나마 알고 있는 수는 보통 '자연수', '정수', '유리수', '실수', '복소수' 정도 입니다. 이 수 체계는 수학적으로 어떤 편의나 임의적인 줄긋기로 만들어진 것이 아닙니다. 이것들은 '연산'이라는 구조를 통해서 하나씩 확장해 나가는 것입니다. 하지만 이 연산의 확장에 그리 어려운 조건과 구조를 넣은 것이 아닙니다. 특히 연산이라고 하면 단지 '덧셈'과 '곱셈'에 대한 것입니다.

19. 일단 정리

그래서 지금까지의 수들을 구조적으로 재조명하기로 한 것입니다.(preview) 그 시작인 자연수는 말 그대로 자연스럽게 생겨난 것입니다. 어떤 사물과의 직관적인 일대일 대응을 위해 만들어졌으며, 특히 수로 쓰는 행위는 그 자체로 엄청난 효율을 선사합니다. 그리고 그 효율을 극대화하기 위해서 가장 중요한 연산을 실시하는데 그것이 덧셈입니다.(part 1)

하지만 이 덧셈이란 연산이 구조적으로 의미 있기 위해서 고민해야 할 것들이 무엇인지 생각해 봐야 합니다. 즉 덧셈이란 연산 자체가 구조를 생성하는데 필요한 것이 무엇인지 생각해 봐야 하는 것입니다. 우선 구조적으로 크게 필요한 것은 세 가지 조건에서 시작하는데 그것이 바로 <항등원, 역원, 결합법칙>입니다. 그리고 온전한 연산이 이 세 가지를 만족하는 집합과 연산을 묶어 군(group)이라 합니다.(part 2)

그러나 자연수에서 덧셈은 너무나도 허점이 많았습니다. 그래서 그 허점을 채우기 위해서 자연수에 '0'과 '음수'를 첨가해 줍니다. 이 과정에서 자연스럽게 '뺄셈'이 정의 될 수 있었습니다. 그 수를 정수라고 부르기로 합니다. 이는 적어도 덧셈에서 완벽한 집합입니다.(part 3)  덧셈이 완성되었기에(더불어 뺄셈까지 완성) 그 다음 관심은 곱셈으로 넘어갑니다. 특히 곱셈이 갖는 정의를 새로 하면서 덧셈에서 종속되는 것에서 약간 독립합니다. 특히 분배법칙은 덧셈과 곱셈을 이어주는 소중한 관계가 됩니다.(part 4)

 그 독립으로 끝나는 것이 아닐 이제 덧셈과 동일한 위상을 갖는 연산으로 곱셈을 상승시키려는 것입니다. 그럼 지금까지 덧셈에게 부여했던 세 가지 조건을 이제 곱셈에도 부여해야 합니다. 그 세 가지는 다음과 같습니다.

1. 결합법칙 : aX(bXc) = (aXb)Xc

2. 항 등  원 : 1이 항등원, aX1 = 1Xa = a

3. 역      원 : a가2의 역원,  2Xa = aX2 = 1

20. 이미 준비된 연산 '곱하기'

마치 모든 일을 다시 시작해야 할 것 같은 복잡한 느낌이 들지만 연산 '곱하기'는 위 세 가지 조건 중에 2가지 조건은 성립되어있습니다. 자세히 말하면 곱하기는 1번 결합법칙이 성립함을 어렵지 않게 생각할 수 있으며(사실 엄격하게 증명하면 어렵지만),  또한 2번의 항등원의 경우에는 어렵지 않게 '수 1'이 곱해도 아무런 영향을 주지 않는 수란 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그리고 이 두 가지는 우리가 만들어 놓은 '정수'에서 아무런 무리 없이 성립합니다.

그렇기에 곱하기가 정수란 체계에서 필요한 것은 이제 3번 조건 역원뿐입니다. 역원의 조건을 만족하면 곱하기 하나의 연산으로 구조를 세울 수 있기에 먼저 정수에서 그것이 가능한 것인지 알 필요가 있습니다. 하나의 예를 들어보자면 2의 역원을 구하는 것은 다음의 답을 구하는 것과 같습니다.

정수 x에 대하여 2x=1의 해를 구하면?

만약 x의 값이 1/2로 나옵니까? 그럼 틀리신 것 입니다.
 x는 정수이기 때문입니다.

답은 '없습니다.'입니다.

즉 어떤 정수를 넣어도 답을 구할 수 없는 것입니다.
사실 약수가 되는 특이한 경우를 제외한 모든 관계에서는 이렇게 역원을 구할 수가 없는 것입니다. 그것은 무슨 의미를 지닐까요? 정수에서 곱셈의 역원을 구할 수 없다는 것은 결국 그 안에서 더 큰 구조적 의미를 찾기 어렵다는 것입니다.

즉, 정수에서 곱하기가 구조적으로 완성될 수 없습니다.
따라서 수의 확장이 필요합니다.

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