수열과 극한 part 2. 무한에 대한 단서 - 큰 것보다 크다.

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무한을 정의하는 데 있어서 가장 간편한 것은 집합론입니다. 사실 집합론 자체가 무한을 위한 것이라고 해도 무방할 정도입니다. 집합론에서는 아이러니하게도 유한집합을 먼저 인식하지만 정의만큼은 무한집합으로 시작합니다.

 

자세히 말하면, 자기 자신과는 다르지만 자신 안에서 자신과 개수가 똑같은 집합을 고르는 작업이 가능하면 무한집합이라고 합니다. 아래 그림으로 보면 조금 더 확실한 무한 집합이 보이게 될 것 같습니다. 무한집합의 대표적인 예가 바로 자연수이죠. 자연수는 자신의 부분집합인 짝수와 개수가 같습니다. (자세한 내용은 링크로)

 

집합론적인 무한은 자신의 안에 자기와 같은 개수의 집합을 담는 것 입니다. (플리커 h.koppdelaney님의 사진)

하지만 이런 엄격한 것으로 무한을 다루려는 것이 아닙니다. 단지 우리가 느끼는 무한은 큰 수입니다. 그 어떤 것보다 큰 수인 무한을 다루려고 하는 것입니다.

 

 

4. 무한의 이미지

 

실재로 학생들에게 무한에 대해서 설명하라고 말하면 가장 먼저 나오는 것이 큰 수입니다. 무엇보다도 크다고 말합니다. 사실 이런 것은 우리가 어렸을 때부터 '자랑하기'의 한 도구이기도 했습니다. 나는 구슬이(뭔 요새로 따지자면 빨간 물약정도겠죠.) 100개 있어~ 나는 1000개! 그다음 나올 만한 것은 역시 '무한개'입니다. 즉 어떤 것이 무한개 있다는 것에 대한 가장 큰 이미지는 큰 수입니다.

 

이런 자연스런 이미지처럼 만약 무한에게 순서를 주게 된다면 아마 무한은 맨 뒷줄일 것입니다. 이런 이미지의 무한은 참으로 편합니다. 왕 같은 느낌입니다. 하지만 문제는 만약 은행에서 번호표를 기다린다면 무한 번은 은행원의 얼굴도 맞이할 수 없다는 약간의 불편함은 있습니다.

순서대로 자리를 배정한다면 무한의 자리는 여기에 없습니다.

 

이것에서 집합론에서 다루는 엄격한 무한보다 보다 정겨운 무한을 만날 수 있습니다. 훨씬 이미지에 와 닿습니다. 전통적으로도 그렇습니다. 그렇기에 이런 것으로 우리는 무한을 포장할 수 있습니다. '어떤 수보다도 큰 수'라는 당연한 이미지를 통해 말입니다.

 

즉, 무한은 모든 큰 수 보다 큽니다.

 

 

5. 큰 것보다 큰 것, 무한

 

그럼 무한을 표현하는 것은 간단합니다. 무한은 누구보다도 큰 '레전드 수'인 것입니다. 하지만 항상 이런 것을 표현하기는 어렵습니다. 그래서 우리는 수학적으로 이렇게 말합니다.

 

'어떤 실수 M을 아무리 잡아보아도, 무한은 M보다도 크다.'

 

이렇게 표현한다면 우리가 무한이 정확히 어디 있는지는 모르지만 적어도 다룰 수 있는 하나의 기회가 생기게 됩니다. 이것은 우리가 지금까지 생각지 못한 곳으로 많은 것들을 보낼 수 있습니다. 가장 엄격해야할 무한이지만 어쩜 가장 두루뭉술한 방법으로 다가가는 것처럼 보일 수 있으나 이 자체가 엄격한 무한으로 다가가는 첫 번째 발걸음인 것입니다.

 

영원히 산다는 것은 죽는 어느것보다 오래 산다는 것입니다.(플리커 Super Mega Action Plus님의 사진)

간단한 예를 들어보면, 만약 이 한국에서 무한대로 사는 사람‘X’가 있다고 생각하면, 모든 사람들이 죽어서 어느 곳에 모여 이야기 할 때 한 영혼이 이런 말을 하게 됩니다. ‘내가 31415년에 죽을 때, X가 나의 곁을 지켜주었지.’ 그럼 옆에 있던 한 이가 이렇게 말합니다. ‘할아버지 저는 271828년에 죽을 때에도 X가 지켜주었습니다.’ 하지만 여기서 끊이지 않고 어떤 사람이 나와도 X가 자신의 마지막의 자리를 지켜준 것입니다. 자꾸 영혼이 새로 올라와도 같은 이야기를 하고 또한 반복하는 것입니다.

 

그래서 우리는 X가 영원히 사는 존재라고 말할 수 있습니다. X의 정확한 나이를 말하지 않아도 말입니다.

 

 

6. 무한을 다루는 단서

 

그럼 우리는 이로써 하나의 문제를 풀 수 있습니다. 우리가 무한을 표현하는데 있어 그냥 큰 수라고 말한다면 무한에게 주어진 문제를 쉽게 해결할 수가 없습니다. 하지만 우리가 어떤 수보다도 큰 수라고 표현한다면 많은 부분의 문제를 이해할 수 있고 또한 무한에 대한 추측을 할 수 있게 합니다.

 

정리하자면 ‘무한대는 정말 크다.’라는 말을 하고플 때, ‘X가 무한이라면 어떤 수 M을 잡아도 M<X 이다.’ 라고 쓴다면 다룰 수 없는 X에 대해서 논리적으로 접근할 수 있는 것입니다.

 

하나의 재미있는 문제를 보면, 우리가 흔히 쓰는 ‘자연수의 집합’이 무한하게 커진 다는 것을 어떻게 증명할 수 있을 까요? 1+1=2라는 것만큼 이 문제는 아리송합니다.

 

다음 글은 이 문제를 통해서 우리가 무한을 이해하고 이를 통해서 극한을 이해할 수 있는 시작점을 삼겠습니다.

자연수의 집합이 무한한 값을 갖는 다는 것으로 부터 시작합니다. (플리커 THEfunkyman님의 사진)

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