모순과 무모순

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역설에 대한 것과 다르게 또 모순이란 것이 있습니다.
역설은 어느정도 인문적인 단어라면
모순이라는 것은 좀 더 수학적인 단어 입니다.

그럼 국어적인 모순의 정의는?

모순 ;
두 개의 명사(名辭)나 명제간(命題間)에서 동일한 요소를 동일한 관점에서 동시에 한편이 긍정하고 다른 한편이 부정할 때 이 양자간의 관계.

자 뭔소린지 모르겠으니 수학적인 되로 간단히 설명하자면
양립할 수 없는 서로 다른 것들 이라 할 수 있다.

잘 모를때는 예를 들어보는게 좋은데..
가장 유명한 이야기가
어떤 군수업체(좀 불려서 이야기하자면 ㅋ)가
창과 방패를 팔며
1. 이 창은 어떤 방패도 뚫어 내며
2. 이 방패는 어떤 창도 막아냅니다~!
라고 했다.
그런데 1번 과 2번은 양립할 수 없는. 다시 말하면 둘 다 성립할 수 없다.
어느 한쪽은 거짓이 될 수 밖에 없고 이런것을 보고 바로 모순이라 한다.

수학적인 곳에서 이런 모순은 아주 값지다!
이것이 바로 귀류법(배리법-자세한 것은 따로 설명할 예정)의 시작이다.
귀류법이란 소크라테스의 문답법에서 가장 많이 쓰이는 증명방법으로

어떤 의견에 대해  일단 인정해주고
계속 적인 논리적 전개를 펼쳐나간다~
계속 되는 대화를 통해 어떤 결론에 도착하게 하는데
그 결론이 결국 처음 의견이나 전체적인 논리에 모순에 되는 경우 나온다.

그 모순을 통해서 처음에 일단인정해주었던 의견이 틀렸음을 인정하게 된다.
모순은 보통 바로 증명하는 직접 증명법이 어려운 경우에 많이 쓰인다
그래서 간접 증명법이라고도 한다.

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모순에 비해서 무모순은 아주 쉽다.
우선 무모순이 뭔지보면
말 그대로이다~ 모순이 없다(無)이다.
조금 싱겁나?

위의 모순이 되었던 창과 방패를 가져와 보자.
모순을 한번 무모순으로 만들어 보면
1. 이 창은 10번 찌르면 어떤 방패로 뚫을 수 있습니다.
2. 이 방패는 어떤 창의 공격도 5번까지는 막을 수 있습니다.
완벽하게 모순을 피한 것은 아니지만
창으로 6~10사이에 방패가 뚫린다면 지겨웠던 모순의 덫에서 풀려날 수 있다.

사실 위의 사실은 수학적으로는 그다지 의미는 없다.
하지만 의미를 두자면 양립이 가능하게 되는 것이 무모순이라 할 수 있다.
수학자들은 현재의 산술체계(자연수, 유리수, 실수, 허수, 유클리드기하학)의 무모순을
보여 완벽한 구조를 마련하려고 했다.
결국에 우리가 알고 있는 대부분의 산술체계에 대한 무모순성이 밝혀졌다.

근데 아이러니 하게도 이 무모순이란 공식을 대입하게 되면
반대로 우리의 산술체계에 반하는 구조가 생겨보리는 것이다.

조금 어려우니 다시 이야기 하자면
우리가 축구규칙에 대해서 완벽하다고 생각했을때.
다른 규칙과 반하지 않는 새로운 규칙을 넣으면 축구와 반하는 경기가 나오지만
모순이 없다면 잘못된 것이라 할 수 없다.

이처럼 무모순체계에 적당한 무모순 공리(규칙)을 넣어주면
새로운 수학이 열리기 때문이다.

대표적인 것이
기하학의 비유클리드 기하학이며
집합론의 일반연속체 가설, 선택공리
대수의 완비성공리 등이 있다.

무모순이란 것은 현재를 완벽하게 해주면서 동시에 불완전한 세계를 열어준다.