멱집합(power set) - 집합의 집합?

우리는 무한의 끝의 유무(글 링크)를 알아보기 위해서 그리고 칸토어의 정리(글 링크)를 해결하기 위해서
멱집합이란 개념을 썼습니다.

정확한 정의는 다음과 같습니다.



예를 들자면
A={1,2}라고 하면
A의 부분 집합들은  φ, {1}, {2}, {1,2} 이렇게 4개 나옵니다.
이 부분 집합들을 다시 집합으로 묶습니다.
P(A) = {  φ, {1}, {2}, {1,2}  }
따라서 집합의 집합이 되는 것입니다.


--------------------유한집합의 멱집합 원소의 개수---------------------------

멱집합 원소의 개수는 원래 집합의 개수의 원소에 따라 다릅니다.

위의 예 같은 경우에는 A의 원소의 개수가 2개 이므로
P(A)의 개수는 2의 제곱 즉 2 × 2 = 4개가 되는 것입니다.

간단히 그 이유를 설명하자면

A의 어떤 부분 집합을 만들때
각 원소에 대해서 그 원소가 들어갈 수 있는 경우의 부분집합과
그 원소가 들어가지 않는 부분집합

이렇게 원소마다 부분집합에 대한 2가지 경우의 수가 생기고
각 사건이 독립적이므로 각 원소의 수만큼 곱합니다.

--------------------------무한 집합의 멱집합-------------------------------

무한집합의 멱집합 역시 같은 원리이며  원소의 개수 또한 2의 제곱으로 표현합니다.
무한집합에서는 실제로 2의 제곱수라기 보다는

멱집합이라는 의미적인 표현이라 볼 수 있습니다.

또한 그래서 A의 멱집합이라는 표현은
P(A)대신에 로 쓰기도 한다.

-----------------------칸토르 정리------------------------------------

무한 집합에서는 진부분집합(자신이 아닌 부분 집합)이라 하더라도
원소의 개수가 동일 할 수 있습니다.(사실 이것이 무한 집합의 정의이기도 하다.)

예를 들어 자연수의 개수와 짝수의 개수는 같습니다.
(다른예: 힐베르트 호텔(링크), 자연수와 짝수와의 개수 비교(링크)

하지만 멱집합은 무조건 원래의 집합보다 개수가 많아집니다.
이는 무한집합이더라도 동일하게 적용됩니다.

이를 칸토르 정리라고 합니다.

이에 대한 자세한 이야기는 집합 글(여기 클릭), 그리고 이에대한 증명은 다른글(클릭)에서 확인할 수 있습니다.