노군의 수학 중독기

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 많은 주변인들에게 문의를 받는 수학 문제 중 하나가  "0.9999······=1"이라는 것입니다. 9가 한없이 이어지는 이 수가 과연 1과 동일한 것인지에 대한 것은 논란이 많죠. 분명히 모양이 다른 두 개의 값이 같다는 것은 생각하기 어려운 일이었습니다. 특히 이것은 1/2=2/4와 같이 같은 의미의 다른 표현 혹은 계산의 결과가 아니라. 확연하게 다른, 특히 1이 더 큰 수로 보이는 이 명제는 많은 이에게 의심을 받는 경우가 많습니다.

한없이 이어지는 수의 값은 어떻게 구할 수 있을까요?

제대를 위한 국방부의 시계도 결국 유한입니다.

8을 뉘어놓은 모습으로 우리는 무한을 표시합니다.

수평선과 저 별에 가기에는 아직 재료가 부족합니다.

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유한은 편하고 어렵지않고
누구나 노력하면 이룰 수 있습니다.
하지만 무한은 그렇지 않아
선택된자 특히 생각하는 자만이 얻을 수 있는 영역이었습니다.
사실 그 선을 넘는 것을 두려워하였죠.

우리가 알고 있는 무한에 대한 어려움은 어렵지 않게 생각해낼 수 있는데
그중에 우리가 가장 널리 알려져 있는 것이
제논의 역설 중 아킬레스와 거북이 문제입니다.(클릭)
제논의 역설은 단지 시간의 반씩 나누어지는 무한합에서 걸리고 맙니다.
제논의 시절에서는 무한번의 합이라는 것은 생각치 못했습니다.
하지만 우리 즉 무한을 다뤄본 사람들은 어렵지 않게(사실은 수열을 배우고 나서) 해결할 수 있습니다.

  이제 조금 심도 있는 질문을 하나 하고자 합니다.

이전에 짝수, 자연수, 유리수, 실수라는 무한개의 개수를 비교하면서 아리송한 결론을 얻었습니다.
짝수 - 자연수 - 유리수는 실제로 같은 개수(더 유식한 말로는 기수)였지만
 실수는 자연수 개수 보다 많았습니다.

이제 이런의문을 갖게 됩니다.

혹시 실수보다 더 많은 무한은 있을 까?
또 무한이라는 개수의 끝이 있을 까?

그러면 다음 과정을 거쳐야 한다.
1. 실수보다 더 큰 집합은 어떤 것이 있을 까?
2. 그럼 그 무한 개수를 갖는 집합은 실수 개수보다 많을까?

1. 실수보다 더 큰 집합은 어떤 것이 있을 까?
이 질문에 답하기 전에 개념 하나만 더 도입해야합니다.
그것은 바로 멱집합(power set(자세한 이야기는 클릭)입니다.
조금 생소할지 모르나 집합의 부분집합개념만 알면 금방 이해되는 집합입니다.

예를 들면 A = {1,2,3}이란 집합의

A의 모든 부분집합을 구해보면
그럼 Φ(공집합), {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} 이렇게 8개입니다.

이때,

부분집합을 다 모아 다시 집합으로 만들면 그것이 바로 A의 멱집합이라 하고 P(A)라 표현합니다.

재미있게도 A가 원소의 개수가 n개이면(유한개)
P(A)의 원소의 개수는 2의 n제곱이 됩니다.(그 이유는 여기를 클릭)
다시 말해 2를 n번 곱한것입니다.

(그래서 원소가 3개인 집합의 멱집합 원소개수-> 2*2*2=8)

이 멱집합을 이용하면 무한에서 개수가 더 많은지는 몰라도
원래 집합보다 큰 집합을 만들 수 있습니다.

따라서 실수를 R이라고 할때 P(R)는 실수보다 큰 집합이 됩니다.

또한 우리는 어떤 집합이 나와도 멱잡합을 통해서 더 큰 집합을 구 할 수 있다.

2. 그럼 P(R)은 실수 R보다 정말 개수가 많을 까?

이 과정은 상당히 복잡할 수 있음을 미리 공지하지만
천천히 따라오면 재미있는 증명의 과정입니다.
우선 2번을 좀 더 거창하게 쓰면 다음과 같은 명제를 만들수 있고
이것이 바로 그 유명한 칸토어의 정리 이며
사실 결론만 알고 지나가는 것이 정신 건강에 좋으나
확실한 증명을 원하시면 다른 글을(클릭) 참고하시면 됩니다.

<집합 A에 대해서 A의 개수보다 P(A)의 개수가 더 많다>

따라서 어떤 집합을 잡던간에 그것보다 더 개수가 많은 집합을 만들 수 있습니다.

즉 우리가 실수 R이 가장 개수가 많았다면
P(R)이 개수가 더 많고
P(P(R))이 더 많고
P(P(P(R)))이 더 많고.. 무한이 이렇게 확장 할 수 있단 것입니다.

이렇게 하다 보면 역시..
무한의 끝을 보려 했던 우리의 노력은 헛된 노력이 됩니다만
우리는 더 큰 무한을 만드는 법을 배웠다.

다소 힘이 빠지지만 무서운 결론은

여기서 다른 질문 하나 던지고 마칩니다.

우리가
자연수개수 다음에 실수
그다음에 멱집합 실수...
이런식으로 무한이란 것도 자연수 처럼1번 무한, 2번 무한, 3번 무한 이렇게 할 수 있지 않을 까?하는 질문을 시작으로
칸토어이후 많은 도전이 있었고 상금이 걸려있는 힐베르트 질문의 1번을 당당히 차지한 문제입니다.
이것은 다음에 논의하도록 하고무한의 끝이 없음을 다시한번 상기하면 여기까지 줄입니다.

<~이전 / 다음~>

  "유리수와 자연수의 개수가 같다"라는
다소 믿기 어렵고 선뜻 이해되지 않는 사실에서
고대 다른 수학자들이 무한을 싫어했는지 잠시나마 이해할 수 있습니다.

이런 결과를 받고나면 왠지

'무한은 모두 같은 개수다'라는 다소 결정적인 생각이 들기도 합니다.

그러기에 다음 두 무한의 비교가 의미있을 것 같습니다.
바로 실수와 자연수의 비교입니다.

그럼 실수를 설명하자면
기본적으로 우리가 쓰는 모든 수라고 할 수 있고 기본적으로 수직선상의 모든 수라고 합니다.(더 자세한 설명은 다음에 작성하겠습니다.(데데킨트의 절단 등))

유리수와 자연수의 비교에서 처럼 약간의 작업이 필요합니다.

우선 먼저
0<a<1 구간안에서만 생각하겠습니다.

이때 구간안의 모든 수는
a = 0.xxxxxxxxx‥‥‥ 이라 표현 할 수 있습니다.

(예 0.5 = 0.50000000‥‥, 1/3=0.33333333333333‥‥)

우리가 처음에 약간 마음이 기울던 결과처럼

(아마도 수학에 관심이 있다면 다음 위의 가정의 이유를 알것이라 믿습니다.)

가정이니 만약 같다면 무리없이 짝(일대일 대응)이 지어질 것읍니다.

우선은 위 처럼 가정해 보면 이렇게 소수 하나씩 대응이 됩니다.

1 <-> 0.a₁₁a₁₂a₁₃a₁₄‥‥‥

2 <-> 0.a₂₁a₂₂a₂₃a₂₄‥‥‥

3 <-> 0.a₃₁a₃₂a₃₃a₃₄‥‥‥

4 <-> 0.a₄₁a₄₂a₄₃a₄₄‥‥‥

   .   .

k <-> 0.a₁₁a₁₂a₁₃a₁₄‥‥‥

   .

   .

이렇게 대응이 되어야 하고 가정에 의해서 일대일 이여야 합니다.

이제 원소 하나를 꺼낼 예정입니다.

예상대로 지금 위의 결론에 문제가 될 것입니다.

그 원소는 바로 다음과 같습니다.

이렇게 정의된 X에 대응되는 자연수를 찾을 예정입니다.

그런데 어렵이 않게 문제를 접할 수 있습니다.

X에 대응될 자연수가 없습니다,.

모든 k에서 a_kk ≠ x_k

가 되기 때입니다.

결국에는 X에 대응 하는 자연수를 찾지 못하니

결국은 처음에 가정했던 것과 다른 결론이 생겨버립니다.

(이런 증명법은 직접적인 증명이 어려운 증명에서 많이 쓰이는 방법입니다.)

하여튼 결론은 확실합니다.

자연수는 (0,1)구간의 실수 개수와 같다는 가정은 거짓입니다.

(0,1)을 포함 하는 구간도 자연수가 모두 커버 못하니

실수를 커버할 수 없는 것은 당연합니다.

(하지만 사실 (0.1)구간의 실수와 실수 전체의 개수는 같고 근거는 함수 y= tan(π(x+1/2))가 일대일 함수라는 것에서 알 수 있습니다.)

당연히 실수가 자연수를 포함하므로 다음과 같은 결론이 납니다.

이 결과는 지금까지(유리수) 자연수 보다 큰 무한이 없었지만

실수에 이르러서야 자연수보다 큰 무한이 나왔고 앞으로도 더 나올 수도 있다는 결론이 내려입니다.

우리는 무한이란 것의 신기함으로 가득한

힐베르트 호텔도 실수 만큼은 채울 수 없습니다.

다음 글은 이런 무한의 끝이 있을 수 있을까하는 면에서 작성하겠습니다.

<~이전 / 다음~>

이전에 자연수의 개수와 짝수의 개수가 같다는
다소 좀 이해하기 어렵지만 부정할 수 없는 결과를 내었습니다.
여기서 멈추지 말고 더 큰 수들의 개수를 비교할 필요가 있습니다.

그래서

라는 당연한 명제에 이제 도전하고자 합니다.(결론이 급하시면 맨 아래로)

먼저 자연수라는 것은 자연스럽게 생기는 즉, 우리가 어렵게 생각하지 않아도 나오는 기본적ㅗ인 수 입니다. 다만 정말로 그 확실한 정의는 다소 복잡합니다.
그러기에 자연수의 정의는 다른 글(링크 클릭)로 대신하겠습니다.

이제 유리수를 소개하겠습니다.

당연히 m=1이라고 하면 자연수는 유리수 안에 포함됩니다.

기본적으로 정수로 표현되는 분수 모두를 말하며
소수로 표현했을때
소수부분이 유한 하던지 아니면 순환하는 소수가 나오는 수를 말합니다.

유리수에 대한 기본적인 성질 중 하나는

실수라는 집합에서 보면 유리수는 조밀하게 이루어져 있다.
서로 다른 유리수 두개를 잡으면 그 사이에 무한한 유리수가 있습니다.(증명 클릭)

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  이런 성질을 보면

유리수와 자연수.. 개수 비교의 승자는 결정이 난것 처럼 보입니다.
하지만 우리는 당연하지만

비교할 가치가 있기에 다음 규칙을 생각할 수 있습니다.

1. 일단은 적어도 유리수가 자연수 개수 보다 많거나 같다.

이것은 유리수가 자연수를 포함하니 당연합니다.

2.  <유리수를 최대한 자연수에 맞추기>
만약 유리수가 n/m이고 서로소로 표현 되었다고 할때
n이 양수이면 2의 제곱수에 n을 음수라면 3의 제곱수에 m을 적용하고
m이 양수이면 5의 제곱수에 m을 음수라면 7의 제곱수에 m은 넣어 나오는 값들을 다 곱합니다.

그러니까 예를 들어

앞에서 건져낸 위대한 발견! 개수를 세는 법입니다.

하나씩 이어가는 방법으로
우리는 아주 자연스럽게 앞에 주어진 것의 개수를 셀 수 있고
우리도 모르는 세에 하나씩 짝지어 세는 법을 알게 되었으며
두 집단의 개수를 비교를 할 때 하나씩 짝을 지어 놓으면 어느쪽이 더 많은지 알게 되었습니다.

그럼 이 자연스럽게 얻어진 방법에 이름을 다시 이야기 해보겠습니다..

수학은 아주 단순 해서 이름을 짓는데 어려움이 없습니다.
(정확한 일대일 대응은 여기를 클릭!)

이제 이 일대일 대응을 통해서 모든 것의 개수를 비교하고자 합니다.
무한은 이제 신의 위치에서 자연스레 손가락 아래로 내려오게 됩니다.
무한의 입장에서 보면 참 슬픈일이지만
이제껏 홀로 지내온 것을 생각하면 더 알아봐야 할 것 입니다.

먼저 그럼 힐베르트의 호텔(클릭)을 한번 보면
힐베르트 손님들은 만원이였음에도 불구 하고 새 손님에게 방을 배정 할 수 있었고
자연수의 개수 만큼의 사람이 새로 왔음에도 방을 배정 할 수 있었습니다.

사실 이 것은 이상한 일입니다.
유한의 호텔에서는 생각지도 못한 일이 힐베르트의 호텔에서는 가능 하게 되었습니다.

이게 바로 무한의 성질이며(더 수학적으로 이야기 하면 무한의 정의 입니다.)

자연수 개수 만큼의 손님이 새로 왔을 때 원래 손님들과 새롭게 옮기던 방에 일대일 대응을 적용해보면

(자연수 개수의 원래 손님) <-> (짝수 번호의 방)      
1호실 손님 <-> 2호실
2호실 손님 <-> 4호실

             .     
        .
      n호실 손님 <-> 2n호실     

이렇게 해보니 자연수 개수의 손님과 짝수 번호의 방과 일대일 대응입니다.
신기하지만 어쩜 당연하게 생각되어 집니다.

더 깊히 생각해보면 짝수라는 것이 자연수의 일부라는 것은 잘 알고 있습니다.

그런데도
n <-> 2n 으로 대응 시키면
자연수와 짝수가 서로 빠짐없이 일대일 대응한다는 것,,,,

이것의 결론을 내어보자면

머리가 이해를 하지만 도저히 마음속 깊히 내딛어지 않는 일이지만 무한에서는 가능합니다.
물론 유한의 세계에서는

[부분]=[전체]

는 있을 수도 없는 일이며
단지 힐베르트 호텔 같이 방의 수가 자연수 개수 라는 무한개 이기 떄문에 가능합니다.
그 렇담 이 성질은 무한과 유한을 가르는 중요한 요소이고 이 사실 자체가 정의 입니다.

즉

참고로 말하자면 이렇게 될 수 없는 것을 이제 유한이라 부릅니다.

여기서 한 가지만 덧붙이자면
우리는 보통 유한을 정의하고 무한을 정의하지 못합니다.

하지만 본래는

인지와 반대로 흘러가는 이것들은 좀 더 충격적인 결과를 초래하곤 합니다.

그것은 다음글에 담겠습니다.
(집합론에서 무한집합의 수학적 정의 클릭)

수학에서 가장 기본이 되고 누구나 한번쯤 한손에 놓고 주물러 보았을 집합!
최근 문제집 광고에서 보듯이(클릭/올해부터는 순서가 바뀌었지만,,)
수학 정석 및 문제집에는 10-가 앞쪽 1/10지역만이 검게 물들 정도로
대중의 수학적 열정을 다 쏟을 수 있는 단원입니다.

 이렇게 친철한 집합의 목적 중에 하나는 바로

입니다.
아마도  직접 셈을 하기 위해서는 다음과 같은 작업이 필요합니다.