집합 part 8. 너가 나에게 속할 확률은? - 퍼지이론

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우리가 집합을 종종 펼쳐보다보면 조금 답답한 면이 있습니다.
집합의 정의 자체 부터.. 비유하자면 약간 파시즘적이죠.
소속을 명확하고 정확하게 해야지만 그 소속에 들어갈 수 있죠.

다시 말하자면 "너무 엄격함"입니다..

----------------------불완전한 소속-----------------------------

다시 집합이야기로 들어가면
집합에서는 그 집합의 정의에 완벽하게 부합하는 소속원 또는 완벽한 배제만을 원합니다.
그러니 집합은 까다롭기만 합니다.

그런데 이런 것들은 세상의 많은 일을 포용하기에는 반대로 나약합니다.

예를 들어 보자
집합을 "자신이 키가 크다고 생각하는 사람들의 키"라고 하면

이런건 집합에서는 다룰수 없는 것입니다.

결국 버려버리고 마는 집합입니다.
분명한것은 자신이 크다고 생각하는 사람이 분명 존재하고
그런 사람들의 키 또한 분명 존재한다는 것입니다.

또한 다른 예로
"예쁜 꽃들의 모임"이라 생각해보면
대부분의 수학자는 이런 집합에 대답조차 않하겠지만
분명히 이런 꽃들은 누구에게나 존재합니다.

다만 단지 100%동의 하는 것은 존재할 수 없습니다.

누군가에게는 사랑이나 미학의 징표겠지만

누군가에게는 상처나 자본의 징표일 수 있기 때문입니다.

다시 말하면 두 모임은 정확하게는 수학에서 말하는 집합에서 제외됩니다.
수학적 파시즘적에 반하기 때문이다.
하지만 우리가 이런 모임들을 수학적 인식에서 지워야 한다면
너무 삶이 심심하고 수학은 또 그 삶과 너무 떨어져버릴것 같습니다.

이런 실정에서 엄격함의 수학이
실생활에 아니 혹은 인간적임에 손을 내민 이론이 필요하게 됩니다.

---------------------- 완벽하지 않은 집합 ------------------------

말로 하는 것보다
예를 들어보겠습니다.

A = {"자신이 키가 크다 라고 생각하는 사람들의 키"}라는 모임을 만들고
(당연히 수학적인 집합이 아닙니다.)

키가 180cm인 모든 위너를 다 납치해와서 물어봤더니
전체의 90%가 자신의 키가 크다 했다합니다.(쳇..)
또한
170cm인 분들을 모셔와서 자신의 키가 크다고 생각하는지 물어봤더니
그랬더니 전체의 20%가 자신의 키가 큰편이다 라고 했습니다.

이때 이렇게 생각보는 겁니다.
180은 90%가 A란 집합에 들어간다~!
170의 20%가 A란 집합에 들어간다~!
이렇게 집합의 소속을 통계적(혹은 수학적) 확률로 나타내는 것입니다.
근데 %로 쓰는 것은 단위상 문제가 되므로
1을 100%로 계산해서
90%는 0.9로, 20%를 0.2로 환산합니다.

이렇게 정의해 놓고 이제 포함 관계를 이렇게 이야기 합니다.

180이란 원소는 A에 0.9만큼의 원소이고

170이란 원소는 A에 0.2만큼의 원소가 되는 것입니다.

이런 포함관계를 갖는 집합을 퍼지집합이라고 합니다.

사실 퍼지이론을 수학적으로 싫어하는 사람도 많지만
현재 퍼지이론도 수학의 영역으로 보는 사람이 더 많습니다.
(왠지 이것도 퍼지 집합 같네요.)

-------------------------퍼지집합 의미---------------------------

수학에서는 엄격함으로 모든 것을 채워가려는 시도를 했고
그에 따라 어쩜 그 엄격함은 시대의 요구였을 것입니다.
완벽한 판단력으로 어떤 기본적이고 유일한 하나의 정의 혹은 신앙을 향했으며
그들은 수학을 통해서 그들의 삶과 올바른 길을 증명하려 했습니다.

그 속에서 다양함에 대한 이론들이 꿈틀거리고 상대주의의 역활이 커지기 시작했고
그러다 결국 지금은 불완전한 것들로 둘러쌓이게 되었습니다..
결국 지금은 불완전이란 것에 대한 수학이 요구되었고
그 수학중 하나가 바로 이 퍼지 집합으로 볼 수 있습니다.

인간은 기본적으로 불완전합니다.
이 인간의 기본인 불완전함을 이제 수학이 대처하려하는 것으로도 볼 수 있습니다.
모더니즘에서는 인간이 0,1로 제어되는 기계에 맞추어지는 시대라면
포스트모더니즘이라 불리는 지금은 도리어 기계속에 인간의 요소를 삽입하는 것이지요.
교통, 시스템제어, 재고관리. 많은 전자제품등에 이제는 인간의 마음이 개입되어있지 않은 것이 없습니다.
따라서 불완전한 인간을 대표하는 퍼지이론은
완벽한 논리가 필요한 많은 분야에 퍼지고 있는 실정입니다.

그러고 보면
오히려 지금 같이 불확실한 시대에 엄격함은 인식의 도피처일지도 모르겠습니다.

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