집합 part 2. 짝수 VS 자연수 개수 비교! 그리고 일대일 대응을 통한 정의

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앞에서 건져낸 위대한 발견! 개수를 세는 법입니다.

하나씩 이어가는 방법으로
우리는 아주 자연스럽게 앞에 주어진 것의 개수를 셀 수 있고
우리도 모르는 세에 하나씩 짝지어 세는 법을 알게 되었으며
두 집단의 개수를 비교를 할 때 하나씩 짝을 지어 놓으면 어느쪽이 더 많은지 알게 되었습니다.

그럼 이 자연스럽게 얻어진 방법에 이름을 다시 이야기 해보겠습니다..

하나씩 짝지어짐 - 일대일 대응

수학은 아주 단순 해서 이름을 짓는데 어려움이 없습니다.
(정확한 일대일 대응은 여기를 클릭!)

이제 이 일대일 대응을 통해서 모든 것의 개수를 비교하고자 합니다.
무한은 이제 신의 위치에서 자연스레 손가락 아래로 내려오게 됩니다.
무한의 입장에서 보면 참 슬픈일이지만
이제껏 홀로 지내온 것을 생각하면 더 알아봐야 할 것 입니다.

우선 가장 중요한 가정은(정리는)

자연스러운 일대일 대응을 해보아서 양쪽에 남는 것이 없이 다 짝이 되어진다면 두 개의 개수를 같다고 할 수 있다.

입니다.

먼저 그럼 힐베르트의 호텔(클릭)을 한번 보면
힐베르트 손님들은 만원이였음에도 불구 하고 새 손님에게 방을 배정 할 수 있었고
자연수의 개수 만큼의 사람이 새로 왔음에도 방을 배정 할 수 있었습니다.

사실 이 것은 이상한 일입니다.
유한의 호텔에서는 생각지도 못한 일이 힐베르트의 호텔에서는 가능 하게 되었습니다.

이게 바로 무한의 성질이며(더 수학적으로 이야기 하면 무한의 정의 입니다.)

자연수 개수 만큼의 손님이 새로 왔을 때 원래 손님들과 새롭게 옮기던 방에 일대일 대응을 적용해보면

(자연수 개수의 원래 손님) <-> (짝수 번호의 방)      
1호실 손님 <-> 2호실
2호실 손님 <-> 4호실

             .     
        .
      n호실 손님 <-> 2n호실     

이렇게 해보니 자연수 개수의 손님과 짝수 번호의 방과 일대일 대응입니다.
신기하지만 어쩜 당연하게 생각되어 집니다.

더 깊히 생각해보면 짝수라는 것이 자연수의 일부라는 것은 잘 알고 있습니다.

그런데도
n <-> 2n 으로 대응 시키면
자연수와 짝수가 서로 빠짐없이 일대일 대응한다는 것,,,,

이것의 결론을 내어보자면

바로 자연수의 개수[전체]와 짝수의 개수[부분]가 같다는 것입니다.

머리가 이해를 하지만 도저히 마음속 깊히 내딛어지 않는 일이지만 무한에서는 가능합니다.
물론 유한의 세계에서는

[부분]=[전체]

는 있을 수도 없는 일이며
단지 힐베르트 호텔 같이 방의 수가 자연수 개수 라는 무한개 이기 떄문에 가능합니다.
그 렇담 이 성질은 무한과 유한을 가르는 중요한 요소이고 이 사실 자체가 정의 입니다.

즉

무한이란! (자신의 개수) = (자신의 같지 않은! 일부분의 개수)

참고로 말하자면 이렇게 될 수 없는 것을 이제 유한이라 부릅니다.

여기서 한 가지만 덧붙이자면
우리는 보통 유한을 정의하고 무한을 정의하지 못합니다.

하지만 본래는

무한이 먼저 존재하고 무한이 아닌 것이 유한이라 정의합니다 즉, 무한이 먼저 정의 됩니다.

인지와 반대로 흘러가는 이것들은 좀 더 충격적인 결과를 초래하곤 합니다.

그것은 다음글에 담겠습니다.
(집합론에서 무한집합의 수학적 정의 클릭)

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