집합 part 1. 무한이란 것은 몇 개 일까? 무한의 개수를 세는 법~

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수학에서 가장 기본이 되고 누구나 한번쯤 한손에 놓고 주물러 보았을 집합!
최근 문제집 광고에서 보듯이(클릭/올해부터는 순서가 바뀌었지만,,)
수학 정석 및 문제집에는 10-가 앞쪽 1/10지역만이 검게 물들 정도로
대중의 수학적 열정을 다 쏟을 수 있는 단원입니다.

 이렇게 친철한 집합의 목적 중에 하나는 바로

"무한"입니다.

(이 이유는 나중에 집중적으로 다루도록 하고)
지금이야 무한이란 말을 자연스럽게 쓰고 대충 많아 보이면 "무한"이라고 둘러대곤 합니다.

사실 기원전의 수학사에서 보면 2000년 넘게 무한이라는 것은
상상하더라도 그 곳은 인간이 절대 손을 대어서는 않되는 "신의 영역"처럼 생각되었습니다.
그래서 무한히 이어지는 사고나 작업은 원천적으로 신에 대한 반항이 되기도 하였으며
보통은 한계를 넘었다고 그 결과를 부정하였습니다.
이유는 간단합니다. 두려움입니다.

많은 수리 철학들이 이 무한을 다루다가
가볍게 오류에 빠지고 멍하니 있다가 포기했습니다.
특히 이성적 사고를 강조하는 경향이 강할 수록 이 힘은 더 강했습니다.
그 한 예로 유클리드 원론으로
수학의 기본 원리를 "유한번의 과정"으로 강조하였습니다.

수학 천제 가우스마저

"나는 무한이라는 크기를 사용하는 것에 이의를 제기한다...  ..(생략)..그것은 결코 수학에서 허락될 수 없는것이다"

라고 하였습니다.

하지만 이제부터
우리는 이제 신의 영역을 침범할 예정입니다.

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<개수를 세는 법>
무한에 대한 첫번째 질문은 바보 같지만
'우리가 말하는 무한개라는 것은 무엇일까?'입니다.
그보다 더 원론적인 질문이라면 무한개는 과연 몇개 일까?

하지만 우리는 더 근원적인 질문을 남겨놓고 있습니다.  
 "우리는 개수를 어떻게 세는 것일까??"
너무나 한심한 질문입니다만 그래도 정확한 답을 위해서
다음을 예로 들어보겠습니다.

"1에서 100까지의 자연수 중에서 짝수의 개수는 몇 개 일까요?"
아마 모두 어렵지 않게 답을 찾을 수 있을 것입니다.
50개입니다.
홀수와 짝수의 개수가 똑같으므로 50개임을 금방 알 수 있지만

우리의 지금의 질문은

'어떻게 개수를 확인 하는 가'

입니다.
아마도  직접 셈을 하기 위해서는 다음과 같은 작업이 필요합니다.

2 - 하나 4 - 둘 6 - 셋 . . . 100 - 오십!

정확한 방법입니다.(이를 일대일 대응이라 합니다.)
어렵지 않게 우리는 하나하나 숫자를 붙여서 세어보면 
우리는 그것의 '개수'를 알게 됩니다.

실재로 놀랍지만
이 방법이 우리가 '수학적으로' 개수를 세는 방법입니다.

그 방법이란.
 "하나씩 짝지었을때 양쪽 모두 완벽하게 짝지을 수 있다면 둘은 같은 개수를 갖는 것이다,"
란 것입니다.

방금 우리가 1부터 100까지의 짝수의 개수를
1부터 50까지의 자연수를 짝지어 개수를 파악한 것도 이 원리로 볼 수 있습니다.
즉, 1부터 100까지의 짝수의 집합과 / 1부터 50까지의 수의 집합이 
하나씩 짝을 짓는 것입니다.

이것은 아주 중요한 발견입니다.
이 원리를 이용해 유한개를 세는데 그치지 않고
철학자와 수학자를 꼼짝 못하게 한 무한을 셀 수 있는 근거가 되는 것 입니다.
 
아주 간단한 커플 게임 같은 발견을 통해서!
이 간결하고 놀라운 방법으로 이제 무한을 한꺼풀씩 벗겨낼 예정입니다.
그럼 다음 글로 이어 작성하겠습니다.

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