노군의 수학 중독기

루저를 위한 수학

전통적으로 우리 여성들의 남성들을 이렇게 위로했습니다.

“외모가 뭐가 중요해 속이 좋아야지!”

동학 농민 운동의 실패 이유

그러나....

루저 논란이 일어난 후로 수많은 남성들은 좌절에 빠지게 되었습니다.

그 기준에 미치지 못함에 한번 슬퍼하고 그것을 노력으로 극복할 수 없음에 더 슬퍼집니다.

이 가슴 아픈 현실에서  우리가 벗어날 곳이 어디인가요..

깔창으로 해결하기에는 그 높이는 백두산 보다 높고 그에 대한 인식은 처절하기만 합니다.

뭐 그렇다고 지금 위너를 욕하겠단 생각은 아니고

수학적으로 보았을 때 과연 크기가 그렇게 중요한 것인가 하는 것에 집중하고 싶습니다.

과연 180이 170보다 혹은 160보다 중요하다고 생각을 갖는 것이 정당할까요?

나는 몇 가지 수학으로 나를 비롯한 루저들을 위로하고 싶습니다.

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1. 집합에서의 위로 - 일단은 밀도이다!

집합을 다루면서 이전에 무한개라는 것을 다루었습니다.(근거는 클릭)

그것 중 가장 주목할 만한 몇 가지를 꺼내오면

바로 실수라는 공간을 나누는 양대산맥 유리수와 무리수 입이다.

참고로,

유리수 - 정수/정수꼴이고 분모가 0이 아닌 집단

무리수 - 실수에서 유리수 외의 것

인데

둘의 개수는 둘 다 무한개 이고

크기 또한 위로나 아래로나 끝이 없는 것을 보면

그 둘은 왠지 같아 보이기도 합니다.

그러나

유리수는 꽉 차 보이지만 그 개수는 결국 자연수와 개수가 같고(이유는 클릭)

무리수는 유리수과 같아 보이지만 실제 개수는 실수와 같습니다.(이유는 클릭)

(자세한 이야기는 생략하겠습니다.)

크기의 의미가 무시된 채 밀도의 차이가 있을 때

그 차이는 작을 것처럼 여겨지나 그 결과는 끝없이 큽니다.

중요한 것은 밀도이다.

다음은 제 친구의 트위터 글이였습니다.

-------------------twitter @HansHoon ------------------------

가끔 말이야.

세계의 무한한 광대함이 느껴져서

내가 한없이 작아지듯 압도당할 때가 있어.

그러다 내 안으로 눈을 돌리곤 깜짝 놀라지.

방금 그 무한한 우주를 지어낸 건 내 마음이었거든

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친구는 어찌하며 마음속에 우주를 담을 수 있을까요?

이를 수학적으로 그리고 밀도의 의미로 다가보기 위해

먼저 마음속에 우주를 그려넣는 방법을 보겠습니다.

광활한 우주를 내 마음속의 “한 곳에 대응^[각주:1]”시킵니다.

그럼 그 우주는 내 마음속에서 하나의 “이미지”가 됩니다.

어디서 많이 본 이름들이 보인다.

바로 “일대일 함수”의 방법입니다.(의미 클릭)

자 우주는 3차원으로 직접표현하기 어려우니 이렇게 바꾸어보겠습니다.

(0,1)로도 밀도가 있다면 전체를 채울 수 있다.

신기하게도 이것은 “참”입니다.

여기서 직접 증명하는 것은 좀 번거롭고 위의 그래프 하나로 대체하겠습니다.

보자. 모든 실수가 하나하나 빠짐 없이 (0,1)구간에 일대일대응 되었습니다.

이는 모두 빠짐없이 서로 같은 개수란 뜻입니다.

똑같이 삼차원의 원을 마음속에 채우면

그 곳에 우리는 무한하나 우주를 채울 수 있죠.

그 우주는 거짓이 아니라 실제 우주에 대응된 소우주인 것입니다.

이게 바로 밀도의 중요한 의미가 될 수 있습니다.

강한 밀도는 모든 것을 담을 수 있게 합니다.

유리수와 무리수 이야기로 돌아가면 그 둘은 쌍둥이 같지만

밀도로 인해

듬성듬성하게 분해되어져 버리는 유리수는 세상을 채우지 못하고

밀도가 꽉찬 무리수는 세상을 채웁니다.

2. 위상에서의 위로 - 모양이 그렇게 중요한 것인가?

하지만 밀도가 꽉찬 남자라도 위로가 모자랄 수 있습니다.

저는 이제 일대일 대응을 통해 크기의 자유를 얻었어도

모양의 자유를 얻지 못하였습다.

우리는 키의 문제를 넘어서면

얼굴 모양의 문제를 맞이하게 됩니다.

서글프죠.

크기의 문제를 키 뿐만이 아니라는 것을 느끼게 됩니다.

무슨 눈꺼플이 뒤집힌 눈이며 입술의 두께며 코의 높이며..

이로써 첫 번째 위로로는 다 채우지 못함을 알게됩니다.

그렇다고 포기하기 이르죠.

이번의 위로자는  “위상수학”입이다

우리는 얼굴의 모양에 좌절하거나 우월감을 갖는다.

음.. 고등학교과정에서도 언급되지 않는

이 위상수학은 수학의 모든 산술적인 부분을 모두 빼고

구조적인 부분만 남긴 조금은 유별난 수학분야입니다.

처음부터 언급하기에는 이곳의 공간이 너무 비좁으니

하고 싶은 이야기만 꺼내어보면

바로 이해하기 어려우니 예를 들어보면

우리가 꽉찬 속을 가진 고무공을 생각해보겠습니다.

근데 이 고무공이 엄청난 탄력과 수축성을 가졌다고 생각했을 때,

고무공을 크게 늘린 다음 그 표면을

지구처럼 울퉁불퉁하게 만들면 그 모양은 지구가 되어버립니다.

크기나 기본적인 모양이 달라도 같을 수 있다.

또 만약에 더 키우면 태양도 만들 수 있다.

그것만이 아니다. 잘 주무르면 접시가 될 수도 있고 아령 모양으로 만들 수 있습니다.

또한 잘 각지게 하면 주사위가 될 수 도 있죠.

(이 점은 최근에 정확하게 증명된 점입니다.)

이렇게 같은 것으로 만들 수 있는 것을 위상동형 즉, 위상(수학)적으로 같은 것이라 하는 것이다 라고 합니다.

또 다른 예를 들면,

둘은 위상적으로 동형이다

우리의 도넛을 잘 주무르면 커피잔을 만들 수 있으니

그럼 도넛 - 커피잔은 위상이란 세계에서는 같은 것입니다.

이렇게 수학에서 보면 세세한 모양이 어떻든 그건 문제 될 것 없습니다.

다 같은 것이 되는 것이죠.

그것 바로 Hole(구멍)의 개수이다.

잘 보면 처음 예의 고무공으로 도넛을 만들 수 는 없습니다.

그 이유는 Hole의 개수가 달라서 그런 것입니다.

즉,

같은 Hole의 개수를 가지고 있다면 우리는 위상적으로 동일하다는 것이다.

그냥 그렇다는 것임...=_=;; 수학적으로... 쩝..

이를 근거로 인간은 같은 Hole의 개수를 가지고 있다는 가정하에서

위험한 추측하나를 해보자면,

아저씨의 원빈이나 저나 이글을 읽고 있는모두가 위상적으로 동일합니다.

다시 말하자면 우리는 모두 원빈 혹은 아이유와 위상적으로 동일합니다.

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3. 밀도의 의미는 크기의 의미 보다 크다.

크기랑 어떤 수치의 의미가  됩니다.

수의 의미에서 순서의 차이가 있을 순 있으나

정말 의미의 영역으로 들어가면 그 의미가 적을 수 밖에 없죠.

과연 우리는 170과 180이란 것에서

숫자 크기로서의 170 < 180 이란 것 외의 어떤 의미를 더 찾을 수 있나요?

하지만 우리는 모두 위상적으로 동일하다.

그리고 속이 꽉 찬 우리는 존재하는 무엇과도 대등하죠.

정말 루저를 말하기에 수치적인 해석은 바르지 못한 것 같습니다.

진정한 의미의 루저는 그 밀도가 없는 것입니다.

그래서 저를 포한함해서 논란 되는 180cm이하의 루저를 응원합니다.

이 사람들도 루저? 세상을 다르게 보자!

그리고 그 보다더 위로하고 싶은 것은 오늘도 밤을 지새우는 학생들에게 위로합니다.

“점수의 크기에 연연하지 말아야 합니다.

중요한 것은 밀도이다.

그러니까 이런 꿈을 꾸어야 합니다. 그리고 세상을 담는 그릇이 되는 것."

친구의 트윗 마지막 말로 마무리 하고 싶습니다.

방금 그 무한한 우주를 지어낸 건 내 마음이었거든

진실게임 "진실만 말해라"

잠시동안 다분히 종교적인 이야기를 하고자합니다.

만약 당신이 이승에서의 생을 다하고 저승의 문턱에서 당심을 심판할 야수와 마주하고 있다고 하는데

나에게 영생과 영벌의 구별이 너무 어려워서 당신에게 기회를 주려합니다.

당신을 원하는 야수가 진리에 굶주린 침을 흘리며 노려보고 있는 이 순간

자칫 이들에게 거짓을 고백하다 걸리게 되면 가차없이 돌이킬수 없는 곳으로 가게되는 상황이라면 

당신의 실수를 바라는 이 야수들에게 어떻게 진실을 이야기 할까요?

다시 말해 어떤 100% 진실을 이야기 할 것인가요?

이집트 신화의 명부의 신 오시리스. 심판의 시기에서 당신의 진실은?

진실을 이야기 할 수 있다는 것은 사실 실생활에서 아주 어렵다. 맘에 들지 않는 상사가 술자리에서 자신의 이미지를 솔찍하게 말해달라고 한다하여 그 진실을 말하기는 너무 어려운 세상아닐까요?

 그러기에 우리는 우리의 생각으로 혹은 우리의 말로써 진실을 이야기하기가 어려운 존재인것 같습니다.
하지만 그렇다하더라도, "당나귀귀를 외칠" 숲을 준다하더라도

정말 그 이야기가 진실일지 아닌지 판단하는 일도 쉽지 않다. 그럼 다시 돌아와 우리는 어떻게 진실을 말할 수 있을까요? 그리고 그게 100% 진실임을 어찌 증명할 것일까요?

계속 되는 질문이 어지럽지만 이제 진실게임을 해야할 것 같습니다.

진실을 말하는 가장 기초적인 방법?

 참과 거짓이라는 것을 구별하기 위해서 우리는 명제를 도입했다.(이전링크) 보통 명제의 구조를 보자면

란 꼴로 나옵니다.

이것을 풀어말하자면

"(1)이 참이라고 '가정'했을때, 과연 (2)가 참이라는 '결론'을 얻을 수 있는가?"입니다. 

그래서 (1)번 자리를 가정, (2)번 자리를 결론이라 하고

그리고 간편하게(1) => (2) 라고 표현합니다. 이를 통해 우리가 어떤 것을 우리가 무엇을 말하든 이 구조로 환원할 수 있습니다.

어떤 명제도 일단 구조로 환원할 수 있다. 문제는 증명이다.

이처럼 어떤 것의 진실을 이야기 할때 가정과 결론이라는 도구로 말하면 대부분 충분합니다.

하지만 이게 끝이 아니죠.

이렇게 말할 수 있어도 이것이 진실인것을 '증명'해 내야 하는 것 입이다.

그런데 이 일은 생각보다 어렵습니다.

예를들어, <그자식 진짜 개념 없다.>라고 한다면 'x=그 자식 => x는 개념없다.' 라고 고쳐쓸 수 있습니다.

하지만 그게 완벽하게 참이나 거짓이로 구별하기 어려운데, 위 예에서는 '개념 없다'라는 것이 어떤 것인지 정확하게 말할 수 없다는 것입니다.(명제의 개념 - 링크)

그러니 당신이 진실이라고 이야기 하더라도 그것이 진실이 아닐 어떤 가능성이 있다는 이야기로 만약 당신이 야수 앞에서 자신의 영원을 걸고 진실을 이야기 해야 한다면? 함부로 말하지 못할 진실입니다.

 그렇담 우리가 무엇이든 진실처럼 이야기 하더라도 그게 진실인지 증명할 수 없는 것일까요?

진실에서 100%진실을 뽑아내는 법

 아직 실망할 단계는 아닙니다. 진실이 뭔지 정확하게 말하고 싶을때, 혹은 어떤 상황에서 완벽한 진실을 말하고 싶을 때에 쓰는 방법들을 연역법이라 합니다.

연역법이란 : 이미 증명된 하나 또는 둘 이상의 명제를 전제로 하여 새로운 명제를 결론으로 이끌어내는 것을 연역(演繹, deduction)이라하며, 이러한 연역적 추리의 방법과 절차를 논리적으로 체계화한 것을 연역법이라 한다.

(출처 : 네이버 백과사전)

 백과사전은 조금 어려운 말로 써야 기분이 풀리나 봅니다.

간단히 설명하자면 이미 진실이라는 몇가지를 기초로 새로운 진실을 만드는 것을 이야기 합니다.

단, 논리적으로 모순이 없게 진행해서 진실을 뽑아 내야 하는데, 이 연역법의 방법이 한가지는 아닙니다.

위키 링크가 있으니 한번 구경하고 오셔도 좋습니다.(연역 링크)

그 중에서 가장 기본이 되는 것이 바로 삼단논법인데, 다시 위키를 링크하지만 아래쪽은 보지 않는 편이 정신 건강에 좋습니다.(삼단논법 위키링크)

삼단논법을 이용한 여러 논리들은 수도 없이 많다. 하지만 이 모든게 딱 이거 하나로 모아집니다.

바로 부분집합입니다.

A ⊂ B이라고 해보면,

A의 모든 것들은 결국 B에 들어갑니다. 이때, 이런 명제를 만들면 참이 되는 것입니다.

[A라면 B이다.]란 것은 참이 되는 것이죠. 삼단논법은 이를 뿌리로 합니다.

삼단논법의 가장 흔한 예를 들어보면

모든 동물은 죽는다. 

쥐집단은 동물이다.

쥐집단은 죽는다

그림을 보면 그저 위의 이야기는 수학적으로 부분집합 이야기가 되는 것 입니다.

쥐의 집합 ⊂ 동물의 집합  ⊂ 죽는 것의 집합

포함관계를 이용해서 완벽한 참을 만들어 낸다. (사람이 죽는 다고 말하기엔 너무 슬프다.)

 그러니 당연하게

쥐집단 ⊂ 죽는 것의 집합이 되는데,

그 렇다는 것은 모든 새밝은 쥐집단은 죽는 것의 집합의 표함이란 뜻이므로, 결국 쥐집단은 죽는다란 결론과 같습니다. 이처럼 삼단논법의 기본방법은 우리가 집합에서 가장 편하게 썼던 부분집합의 다른 해석일 뿐이다. 그래서 우리는 동물이 죽고 쥐집단이 동물이라는 두가지 진실에서 새로운 진실, '쥐집단이 죽는다.'를 얻어낸것이다.

또 다른 방법이 있다. 가정을 공집합으로 만들어 버리는 것이다. 공집합이 무엇인가. 아무것도 없어서 어디에가도 부분집합이 됩니다.

다시말하기 위해 아래를 보면

[ø인 것은 모두 A이다]라고 해보자. 당연히 ø ⊂ A이므로 참이됩니다.

이제 진실인가?.... 진리의 합의?

 이제 우리가 진실을 이야기 하는 법을 배웠기에, 영원한 즐거움이 있을 하늘의 나라 앞의 야수에게 진실을 말하기 위해서 이제 내가 가지고 있는 가장 일반적인 것을 생각해보겠습니다.

가장 좋은 진실 하나가 있다면 멋드러지게 그 부분집합 이용해서 진실을 말하고 즐거운 발걸음을 하려는데,

문제가 하나 생겨버립니다.

바로

불완전성의 원리 (자세한 이야기는 여기 클릭)입니다.

요약하면

앞의 남자가 뒤에 손가락을 꼬은 이유는?

 이게 무슨 날벼락일까요.

어떤 것을 이야기하더라도 그 근본은 결국 설명하지 못한다는 이런 것입니다.

부분집합을 설명하고 죽음을 설명하고 쥐가 죽는다는 것을 설명해도 결국엔 이상한 개념의 벽에 막히고

결국에는 잘 모른다는 0.1%에 도달하게 되는데, 이 때문에 진실이 100% 증명되지 않는 다는 것이다.

(예를 들어 정말 동물은 다 죽는 것인가? 하는 것 부터가 문제입니다.)

결국 나는 아무말도 못하고 서있고, 야수는 미소를 짓겠죠.

그렇습니다. 사실 어떤 것도 절대적이진 못하지만, 절대적인 위치를 갖어야하는 것도 존재해야 한다는 것이 사실입니다. 그러기에 우리는 진실에 합의를 합니다. (그것을 공리라고 한다.) 그 합의점이 있다면 우리는 영원한 물음표에서 벗어납니다. 우리가 상대방을 인정하는 논리의 근거가 바로 이것입니다.

 기본적으로 공동체의 진리는 기초적으로 합의입니다.

죽음을 이야기 할 때, 이전에 우리가 살아 있음을 증명해야 합니다.

하지만 우리는 살아있음을 증명하지 못합니다. 단지 내가 나로써 합의한 공리인 것이죠.

나와 나의 생각의 공동체는 살아있음을 합의하고 내 존재가 죽음에 이른다는 결론을 낼 수 있는 것입니다.

축구 경기도 하나의 합의로 진실을 만들어 내는 것이다.

또 다른 약점이 있다면, 진리를 더이상 넓힐 수가 없다는 것입니다.

부분집합, 즉 연역으로 만들어낸 진실은 이미 합의 된 진실에 이미 일부였다는 것이죠.

결국은 하나도 달라진 것이 없는 것과 같습니다다.

결국엔 지금까지의 노력이란 것은 결국엔 이미 알고 있던 내용을 다시 써 놓은 것 뿐이라는 것이거나, 가정을 공집합을 두어서 별 쓸데도 없는 진실만 퍼부은 것입니다.

당신이 고민한다 하여도 결국엔 아무것도 해놓은 것은 없습니다.

하지만 우리가 살 수 있는 것은.

 일단 진실의 생성보다 축복의 길로 가는 것이 중요하니, 다시 야수의 앞에 돌아와보면,

마른 침이 계속 넘어가는 상황에도 걱정할 필요 없습니다. 당신은 이제 축복의 길로만 들어서면 된다면 아직 끝은 아닙니다.

 그럼 이제 상황은 되바뀌게 됩니다. 야수는 진실을 판단할 수 있음을 증명해야 합니다. 어떤 진실이 있다고 가정하더라도 야수는 그것을 증명해야 하는데 그 증명은 결국 나의 고민(불완전성)에 다가섭니다.

만약 진실이 존재하지 않는다고 하면, 진실이란 집합이 공집합이 되므로 결국엔 이 명제는 참이 되죠. 그러므로 나는 축복의 길로 가는 것입니다.

포기 하지 마라. 우리가 진실을 이야기 할 수 없어도 과정으로 이룰수 있다.

 이렇게 우리가 살 수 있는 길은 있습니다.

고집스런 진실은 결국은 거짓입니다.

이 때문에 고집스런 진실과 이별할 필요가 있다. 대신 공리와 합의 안의 독립적인 진실과 살면 되는 것 입니다.

이제는 독립적인 진실로 이해해야..

 진실을 말하는 명제가 중요한 부분은 여기 있는 것 같습니다.

연역이든 삼단논법이든 진실을 말하기 위한 이 구조를 만드는 것, 이 구조로 우리가 올바른 사고의 과정을 거치는 것, 이것이 딱딱하게 느끼는 명제의 무른 속 같습니다.

허술해보이지만 한번 맛보면 논리가 완성되는 것 자체가 맛나는 일이죠.

 수학도 마찮가지입니다. 마치 삶처럼!

하지만 줄어드는 지식에만 몰두할순 없죠. 그러기에 다음에는 불완전하지만 그래도 가능성이 높은 진실을 발견하는 방법을 한번 알아보겠습니다.

<~이전 / 다음~>

프리뷰에서 언급했다시피,

진리라는 개념 파악을 위해 명제를 도입하려 했으나

모든 문제가 “그렇다”와 “아니다”의 조합만이 아니기 때문에

명제를 도입하는 일 자체가 큰 어려움에 휘말리게 됩니다.

예를 들어보면

“똥 뭍은 쥐가 겨 뭍은 인간에게 너 참 더럽고 공정한 사회가 아니구나!”라고 말한 다면

과연 이 명제는 맞는 것일까요?

그럼 이런 모호함이 왜 나오는 것일까요?

그리고 모호함의 원천은 어디일까요?

---------------- 모호함을 피하기 ----------------

결론부터 이야기 하면

그는 살인이란 범죄를 저지른 것이지만 우리는 그를 영웅이라 부른다.

모호함은 명제의 몸통, 조건에서 나옵니다.

가벼운 예를 들어보면,

“전과가 있는 사람은 나쁜 놈이다.”이란 명제를 보면,

보통 우리는 14범정도 된다면 대부분 정말 나쁜 놈이라 합니다.

그렇다면 전과가 있는 사람은 나쁘다는 것은 맞는 말일까요?

일제시대의 안중근을 보면

그는 살인이라는 일을 저질렀고 그것은 분명 전과자 입니다.

하지만 그는 현재 뮤지컬 “영웅”의 주인공일 만큼 우리 사회에서는 강직한 사람으로 통힙니다.

이럴 경우에 사람을 죽인 사람이 나쁘다는 것에 동의하지 않는 사람이 많을 수 있습니다.

이렇게 같은 범죄를 다르게 보이는 것은 바로 “나쁜 놈이다.”라는 조건의 모호성 때문입니다.

모든 것에서 모든 사람이 동의하기 어렵다.

조건에 감정이나 선입견이 들어가 버리면 보편적 진리 찾기에서는 이미 탈락됩니다.

진리라는 것은 슈퍼스타K처럼

“제 점수는요”라고

 각기 다른 결론이 나오면 안되기 때문입니다.

여튼 조건이란 것이 모호해져 버리면 명제가 되기 어렵습니다.

즉, 조건의 명확성이 완성되어야 명제의 모호성이 제거된다.

이런 모호함을 조금이나마 제거한 명제를 이야기하기 위하여

“수학”을 도입하고자 합니다.

그리고 그중에서도 먼저 조건이 명확한이라는 정의를 이미 포함한 “집합”을 먼저 생각해보겠습니다.

---------------- 집합과 명제의 관계도 ----------------

먼저 집합의 의미를 다시 새겨보면,

여기서 명제와 비슷하게나마 공통된 점을 찾을 수 있나요?

(밑줄을 이미 쳐놓았지만...)  <명확하게 구별>이라는 것입니다.

다시 말하자면 줄긋고 확실하게!!

<너는 여기 모임의> “소속임!” 혹은 “소속이 아님!” 이라

확실히 할 수 있는 것들을 말합니다.

또한 모든 집합은 조건제시법으로 표현가능한데,

집합이란 것을 다시 이야기해 보자면

“조건이 제시되고 그것이 만족되는 것들의 모임.”인 해석을

“조건에 대해서 참이 되는 것들의 모임.”이란 명제적 문자로 바꿀 수 있습니다.

집합과 명제는 공생의 관계를 유지한다.

명제의 참과 거짓을 명확히 구분 짓는 명제와 조건으로 원소를 갖아야 하는 집합이

서로의 필요를 위해서 동일하게 만납니다.

여기서부터 

집합과 명제는 악어와 악어새처럼

둘의 공생이 시작됩니다.

결론부터 이야기 해보면

이제 어떤 조건 p가 있다면, 이 조건에 참이 것들이 있을 것입니다.

그것으로 모아 놓은 집합을 P라 했을 때,

즉

일 때,

집합 P를 조건 p의 진리집합이라 합니다.

예를 들어 보면

포유류의 진리집합

만약 [ 조건 p : 포유류 이다! ]일 때,

친구집 강아지는 포유류이고,

시골집 닭은 조류입니다.

이를 집합으로 그리면 위의 벤다이어그램과 같죠.

이렇게 하면 진리집합 P가 만들어 지는 것입니다.

---------------- 어려운 길은 돌아가면 된다. ----------------

기본적으로 명제가 양산되는 논리학은 어렵다.

말장난 같이 보이기도 하고 참인지 거짓인지도 모르겠다합니다.

멋진 그림이 항상 직활강에서만 나오는 것은 아니다

말의 순서 조차도 어려운 것이 바로 명제이지만 이 길은 돌아갈 수 있는

사실 지름길은 아니지만 완만한 길이 있습니다.

그것이 바로 집합입니다.

스키에서 직활강을 타는 것이 더 빠르지만 위험하기에 우리가 돌아가듯이

진리가 앞이라고 명제로 직활강하기 보다는

살짝 수학의 집합에 안착해서 가보는건 어떨까 합니다.

다음은 실제적으로 명제를 집합을 통해서 판단하는 시간을 갖겠습니다.

<~이전 / 다음~>

우리가 집합을 종종 펼쳐보다보면 조금 답답한 면이 있습니다.
집합의 정의 자체 부터.. 비유하자면 약간 파시즘적이죠.
소속을 명확하고 정확하게 해야지만 그 소속에 들어갈 수 있죠.

다시 말하자면 "너무 엄격함"입니다..

----------------------불완전한 소속-----------------------------

다시 집합이야기로 들어가면
집합에서는 그 집합의 정의에 완벽하게 부합하는 소속원 또는 완벽한 배제만을 원합니다.
그러니 집합은 까다롭기만 합니다.

그런데 이런 것들은 세상의 많은 일을 포용하기에는 반대로 나약합니다.

예를 들어 보자
집합을 "자신이 키가 크다고 생각하는 사람들의 키"라고 하면

이런건 집합에서는 다룰수 없는 것입니다.

결국 버려버리고 마는 집합입니다.
분명한것은 자신이 크다고 생각하는 사람이 분명 존재하고
그런 사람들의 키 또한 분명 존재한다는 것입니다.

또한 다른 예로
"예쁜 꽃들의 모임"이라 생각해보면
대부분의 수학자는 이런 집합에 대답조차 않하겠지만
분명히 이런 꽃들은 누구에게나 존재합니다.

다만 단지 100%동의 하는 것은 존재할 수 없습니다.

누군가에게는 사랑이나 미학의 징표겠지만

누군가에게는 상처나 자본의 징표일 수 있기 때문입니다.

다시 말하면 두 모임은 정확하게는 수학에서 말하는 집합에서 제외됩니다.
수학적 파시즘적에 반하기 때문이다.
하지만 우리가 이런 모임들을 수학적 인식에서 지워야 한다면
너무 삶이 심심하고 수학은 또 그 삶과 너무 떨어져버릴것 같습니다.

이런 실정에서 엄격함의 수학이
실생활에 아니 혹은 인간적임에 손을 내민 이론이 필요하게 됩니다.

---------------------- 완벽하지 않은 집합 ------------------------

말로 하는 것보다
예를 들어보겠습니다.

A = {"자신이 키가 크다 라고 생각하는 사람들의 키"}라는 모임을 만들고
(당연히 수학적인 집합이 아닙니다.)

키가 180cm인 모든 위너를 다 납치해와서 물어봤더니
전체의 90%가 자신의 키가 크다 했다합니다.(쳇..)
또한
170cm인 분들을 모셔와서 자신의 키가 크다고 생각하는지 물어봤더니
그랬더니 전체의 20%가 자신의 키가 큰편이다 라고 했습니다.

이때 이렇게 생각보는 겁니다.
180은 90%가 A란 집합에 들어간다~!
170의 20%가 A란 집합에 들어간다~!
이렇게 집합의 소속을 통계적(혹은 수학적) 확률로 나타내는 것입니다.
근데 %로 쓰는 것은 단위상 문제가 되므로
1을 100%로 계산해서
90%는 0.9로, 20%를 0.2로 환산합니다.

이렇게 정의해 놓고 이제 포함 관계를 이렇게 이야기 합니다.

180이란 원소는 A에 0.9만큼의 원소이고

170이란 원소는 A에 0.2만큼의 원소가 되는 것입니다.

이런 포함관계를 갖는 집합을 퍼지집합이라고 합니다.

사실 퍼지이론을 수학적으로 싫어하는 사람도 많지만
현재 퍼지이론도 수학의 영역으로 보는 사람이 더 많습니다.
(왠지 이것도 퍼지 집합 같네요.)

-------------------------퍼지집합 의미---------------------------

수학에서는 엄격함으로 모든 것을 채워가려는 시도를 했고
그에 따라 어쩜 그 엄격함은 시대의 요구였을 것입니다.
완벽한 판단력으로 어떤 기본적이고 유일한 하나의 정의 혹은 신앙을 향했으며
그들은 수학을 통해서 그들의 삶과 올바른 길을 증명하려 했습니다.

그 속에서 다양함에 대한 이론들이 꿈틀거리고 상대주의의 역활이 커지기 시작했고
그러다 결국 지금은 불완전한 것들로 둘러쌓이게 되었습니다..
결국 지금은 불완전이란 것에 대한 수학이 요구되었고
그 수학중 하나가 바로 이 퍼지 집합으로 볼 수 있습니다.

인간은 기본적으로 불완전합니다.
이 인간의 기본인 불완전함을 이제 수학이 대처하려하는 것으로도 볼 수 있습니다.
모더니즘에서는 인간이 0,1로 제어되는 기계에 맞추어지는 시대라면
포스트모더니즘이라 불리는 지금은 도리어 기계속에 인간의 요소를 삽입하는 것이지요.
교통, 시스템제어, 재고관리. 많은 전자제품등에 이제는 인간의 마음이 개입되어있지 않은 것이 없습니다.
따라서 불완전한 인간을 대표하는 퍼지이론은
완벽한 논리가 필요한 많은 분야에 퍼지고 있는 실정입니다.

그러고 보면
오히려 지금 같이 불확실한 시대에 엄격함은 인식의 도피처일지도 모르겠습니다.

이제 무한 이야기를 잠시 벗어나서 집합론의 문제들을 더 살펴보겠습니다.

칸토르(칸토어)가 집합론이라는 거대한 작업을 마칠때쯤(어짜피 그 시대에는 큰 인정은 없었지만)
러셀의 편지를 받게 됩니다.
어떤 연구이든 가장 절망스러운 것이 이룩할때 쯔음에 나오는 반론과 역설들입니다.

칸토어 역시 편지 한장에 절망감을 느끼게 됩니다.

그 내용은

사람들은 집합이란 단어를 '모임'으로 생각하기 때문에
"모든 집합들을 모아 놓은 집합"도 자연스레 상상하게 됩니다.
자연스러운 이 단어가  왜 문제가 되는 것일까요.

그 문제는

다음 이야기에서 나타납니다.

-------------------------이발사의 역리(러셀의 역리)------------------------

세빌리아(지명이름)의 이발사는 자신의 상점 입구에 이렇게 크게 써 놓았습니다.

멋진 한마디입니다.

즉, 나는 스스로 면도하지 않는 사람을 면도하겠다는 설명입니다.

그런데 문제는 세빌리아의 다른 사람들이 아닌 자기 자신입니다.

이발사 스스로의  면도는 누가 해야 할까요?

먼저 자기 자신이 면도를 한다면 스스로 면도하는 사람이므로

팻말에 적혀있는 스스로 면도하지 않는 사람에 포함될 수 없습니다.

그러므로 이발사는 자신을 면도할 수 없습니다.

또한 다른 사람이 자신을 면도 한다면 이발사 자신은
팻말에 적혀있는 스스로 면도하지 않는 사람입니다.
따라서 스스로 면도를 해야 합니다.

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말의 의도는
세릴리아의 스스로 면도하지 않는 사람을 면도 하는 사람
이란 자신의 처지가 자신에게 속하는가 속하지 않는가 입니다.
자신자체가 들어가야 할 곳이 어디인가라는 것입니다.

러셀은 이런 역리를 구체화한 집합과 질문을 던진다

이 집합에는 자기 자신이 포함될수도 포함되지 않을 수도 없는 일이 벌어집니다.

전형적인 모순입니다.

이발사의 역리로 시작한 이 질문은 집합론계의 아주 큰 파장을 불러일으켰습니다.
참고로 이와 같은 의미의 유명한 역설인 에우블리데스의 명제"내가 지금 말하는 명제는 거짓이다"
그리고 크레타섬의 거짓말쟁이의 역설"이섬의 사람들은 다 거짓말 쟁이다"와 일치합니다.

당시 집합론을 이야기 하는 수학자의 기본적인 믿음에 대못을 박은 이 논쟁은
결국에는 <모든 집합의 집합>이 존재하지 않음으로 결론을 냅니다.
그리고 이 논쟁을 통해서 소위 논리주의, 직관주의, 형식주의의 이 세가지의 사조가 나타나면서

급 혼란기를 맞이합니다.(자세한 것은 심화 메뉴를 통해서 알아보도록 하겠습니다.)

------------------------- 결  언 ------------------------------

우리가 어떤 것을 감각적으로 이해하고 의견을 수렴하는 일은
자신도 모르는 기초 사고에 지배당하게 됩니다.

집합론도 마찬가지입니다.
우리가 쉽게 이해할 수 있는 집합론이지만
웃으며 지나가기에는 많은 역설과 모순이 난무하게 됩니다.

<러셀의 역리>라는 홍역을 치룬 집합론은
제대로된 공리계를 세워 집합론을 방어해 나가야 할 필요성이 생겼고
대학수준의 이야기이지만
현제는 ZFC공리계라고 부르는
체르멜로-프란켈 집합론이라 하여 몇 가지 공리를 기반으로 한 집합론을 세웠습니다.

- 추가 적인 집합론의 역설 -
리차디언의 역설
부랄리-포르티 역설

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집합론이란 것으로 무한에 하나의 깃발을 세웠고
또한 집합론을 통해 많은 수학들이 피어나게 되었습니다.

많은 역리와 반발 속에서 꽃피우게된 집합론은
전공수학의 맨 처음을 장식하게되는 영광까지도 얻었죠.

불완전하고 감각적인 수학의 뿌리이지만(괴델의 불완전성의 원리)

집합론은 그 불완전속의 구조적이고 합리적인 사고로 부터 우리는 완벽함을 추구하고자 합니다.

불안함속의 완고한 한마디로 이 장을 마치겠습니다.

이전에 무한 집합에서 가장 큰 무한집합이란 존재하지 않는다고 이야기 하였습니다,
무한이 끝이 없음을 결론짓게 했던 일등공신

멱집합!

이 멱집합을 통해서 우리는
우리가 A란 집합을 가지고 P(A)란 더 큰집합을 만들었습니다.
A란 집합이 무한이라고 하더라도 성립합을 알았습니다.
(칸토어 정리 링크)

우리가 계속 무한에서 놀았으니 무한에서의 몇가지 의문을 계속 가져보겠습니다.

1. 무한중에 가장 작은 무한은?
2. 무한의 순서라는 것이 있을까?


자 그럼 1번부터 한번 이야기 해보겠습니다.

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1. 무한중에 가장 작은 무한은?

가장 작은 무한

무한 중에서 어쩜 가장 상상하기 편한 수가 될 것입니다.

다들 예상하시는 대로, 자연수입니다.

수식 적용이 어려우므로 한글파일을 본떠 붙이겠습니다.



결론이 조금 쉽게 났습니다.
어떤 무한이든 무한인 것에서 하나씩 뽑아 원소를 나열할 수 있고

그건 자연스럽게 자연수와 대응되게 할 수 있습니다.
따라서 결론을 다시쓰면

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2. 그럼 자연수 개수 다음 무한은? 그리고 무한의 순서는?

결국 자연수가 가장 작은 무한이었습니다.
우리는 집합 4장에서 자연수보다 실수가 더 많음을 알 수가 있었고
5장에서는 멱집합을 이용하면 더 많은 개수의 집합을 만들 수 있음을 알 수 있었습니다.

 하지만 신기하게!
자연수의 멱집합은 실수와 같은 개수입니다.
(증명은 나중에 링크 걸어드리고^^ 좀 복잡해서)

여튼 그러다 보니 칸토어 정리를 생각하게 됩니다.
멱집합은 혹시 무한집합을 줄세우게 할 중요한 요소는 아닐까요?

1번 무한이 자연수라면
2번 무한이 실수 즉 자연수의 멱집합
그리고 3번 무한이 실수의 멱집합(즉 자연수의 멱집합의 멱집합)
이렇게.. 이렇게 무한이 일렬로  세울 수 있을까요?

이 문제에 대해서
칸토어가 제시한 것은 다음과 같습니다.

즉 위에서 말한 것과 같이
X란 무한 다음 무한은 무조건 P(X)가 되어야 한다.라는 생각입니다.

아쉽게도 칸토어의 머리에서도
그리고 어떤 수학자의 머리에서도 이 문제가 풀리지 않게됩니다.

그리서 이 명제는 "가설"로 남게 되는데

수학에서 유명한 "일반 연속체 가설" 이라고 부릅니다.
힐베르트는 이것을 20C 수학문제의 1번에 당당히 올리게 됩니다.

하지만 이것은 애매한 상황이 되어버립니다.
괴델은 이 문제가 집합론을 이루는 요소(공리)로는 반증이 되지 않는다고 이야기합니다.
또한 코헨이란 사람이 집합론을 이루는 요소로는 증명되지 않는다고 증명했다..

무슨 소리인가 다시 이야기 해보면
집합론의 논리를 가지고
위의 연속체가설을 증명할 수도 없고! 반박할 수도 없다는 것입니다.
(이것은 괴델의 불완전성의 원리(글링크 클릭)와 관련되어 있습니다. )

이 집합론이라는 모델에서는

'연속체 가설이 성립한다' 라고  해도 하나의 체계가 완성될 수 있으며

또 '없다고 가정'해도 새롭게 다른 완성된 체계가 만들어질수 있다는 것입니다.

간단히 말해 둘 모두 정답이라는 애매모호한 정리로 마무리 됩니다.

결론은!
가장 작은 무한은 자연수 개수이며
무한의 순서는 멱집합으로 할 수 도 있고! 그런 순서가 없게 할 수도 있다!

그럼 이런 아리송한 결론은 괴델아저씨의 불완전성의 원리에서 말하겠고
이제 무한에서 조금 벗어나서
집합론에서의 역설들 몇 개만 더 알아보겠습니다.