힐베르트 문제들

20C에 주어진 힐베르트의 문제들

물리학과 수학을 아우르는 문제들로
아직도 풀리지 않은 문제들이 많이 존재한다.
(문제 및 해결은 위키에서 발췌 - 하나씩 블로그에 채울 예정 )

	문제	해결	블로그
1	연속체 가설: 정수의 집합보다 크고 실수의 집합보다 작은 집합은 존재하지 않는다.	체르멜로-프란켈 집합론에서 선택공리를 가정하는지의 여부에 무관하게 증명할 수도 반증할 수도 없음이 증명되었다. 이것으로 이 문제가 해결되었는지에 대해서는 합의된 바가 없다.	설명 (클릭)
2	산술의 공리들이 무모순임을 증명하라.	괴델과 겐첸[?](Gentzen)의 결과가 이 문제를 해결했는지에 대한 합의가 존재하지 않는다. 1931년에 증명된 괴델의 제2 불완전성 정리는 산술의 공리계가 자기 자신의 무모순성을 증명할 수 없음을 보였으며, 1936년에 겐첸은 서수 ε0이 기초집합이라는 가정을 하면 산술의 무모순성이 증명됨을 보였다.	설명 (클릭)
3	부피가 같은 두 다면체에 대해, 하나를 유한개의 조각으로 잘라낸 뒤 붙여서 다른 하나를 만들어내는 것이 언제나 가능한가?	부정적으로 해결. 덴 불변량을 사용하여 증명.
4	직선이 측지선인 계량을 전부 만들어내라.	해결 여부를 말하기에는 문제의 내용이 너무 애매하다.[1]
5	연속군은 언제나 미분군인가?	문제를 어떻게 해석하는지에 따라 앤드류 글리슨(Andrew Gleason)이 해결했다고 볼 수도 있다. 그러나 힐베르트-스미스 추측과 동치인 것으로 해석할 경우에는 여전히 미해결 문제이다.
6	물리학 전체를 공리화하라.	미해결. 모든 것의 이론 참고.
7	a ≠ 0,1이 대수적 수이고 b가 대수적 무리수일 때, ab은 초월수인가?	긍정적으로 해결. 겔폰트의 정리 및 겔폰트-슈나이더 정리 참고.
8	리만 가설(리만 제타 함수의 임의의 비자명근의 실수부는 2분의 1이다)과 골드바흐 추측(2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다).	둘 다 미해결.
9	대수적 수체에 대해 성립하는 가장 일반적인 상호법칙을 발견하라.	부분적으로 해결. 유체론의 발전으로 아벨 확장에 대해서는 해결되었으나, 비아벨 확장에 대해서는 풀리지 않은 상태이다.
10	임의의 주어진 디오판토스 방정식이 정수해를 갖는지를 판별하는 알고리즘을 제시하라.	부정적으로 해결: 마티야세비치의 정리[?](Matiyasevich's theorem)에 따라 그러한 알고리즘은 존재하지 않는다.
11	대수적 수를 계수로 갖는 이차 형식의 해 구하기.	부분적으로 해결됨.
12	유리수체의 아벨 확장에 대해 적용되는 크로네커의 정리를 임의의 수체에 대해 일반화하라.	미해결.
13	임의의 7차방정식을 2변수 함수들을 이용해 풀라.	해결: 블라디미르 아놀드가 그 가능성을 증명했다.
14	특수한 완비 함수족들의 유한성의 증명.	반례가 존재하여 일반적으로는 성립하지 않음이 증명되었다.
15	Schubert's enumerative calculus에 대한 엄밀한 기초를 제시하라.	부분적으로 해결.
16	대수곡선 및 곡면의 위상	미해결.
17	정부호 유리함수를 제곱의 합의 몫으로 나타내라.	해결: 필요한 제곱의 개수의 상한이 발견되었다.
18	정다면체가 아니면서 쪽매맞춤을 할 수 있는 다면체가 존재하는가? 가장 밀도가 높은 공 쌓기는 무엇인가?	해결.[2]
19	라그랑지안의 해는 언제나 해석적인가?	긍정적으로 해결: 엔니오 데 기오르기[?](Ennio de Giorgi)가 증명했고, 나중에 존 포브스 내시도 독자적인 방법으로 증명했다.
20	경계값 조건을 갖는 모든 변분법 문제들은 해를 갖는가?	해결: 20세기 전체에 걸친 연구의 결과로 비선형적인 경우에 대해 해를 찾을 수 있었다.
21	주어진 모노드로미 군을 갖는 선형 미분방정식의 존재성을 증명하라.	해결. 문제를 어떻게 해석하는지에 따라 긍정적이거나 부정적인 해결로 볼 수 있다.
22	보형함수를 이용한 해석적 관계의 균일화.	해결
23	변분법의 추가적 발전.	미해결