등비수열의 무한합 2 - 무한번으로 더했는데 무한해지지 않는 다고?

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제논의 역설 제거를 위해 미리 보는 등비수열의 무한합이 필요합니다.
개념은 이곳을!  제논의 역설은 이곳을! 를 클릭하시기 바랍니다.

이해는 쉽지만 설명하기 어려운 등비수열의 개념이 필요하기에
제논의 역설이 왜 이렇게 오랫동안 사람의 마음을 가지고 장난을 쳤는지 알 것 같습니다.
각설하고! 이제 제논의 역설을 풀어낼 마지막 공식들을 정리하겠습니다.

1. 등비수열의 합(유한번)
첫번째 항이 a이고 일정하게 곱해지는 값(공비)를 r이라 하고
첫번째항부터 n번째항 까지 더한 것을 X라고 하면
딱, 하나의 조건 r=1을 제외하면
  X-rX를 해보면 다음과 같은 결과가 나옵니다.




조금은 복잡하지만 천천히 뺄셈만 잘 보면 고등학교 수준입니다.

다시 정리하자면
등비수열이란 것이 1번 부터 n번까지 더하면 저런 모양입니다.

예를 들어보자면

첫번째가 3이고 일정하게 곱해지는 값이 2일떄
100번째까지 다 더해보면

입니다
(계산은 집에서 천천히..2의 100제곱 구하기 어려우니 값을 보고 싶으시면 상용로그 이용을 추천합니다;;)



2. 워밍업 에서 n의 값이 커진다면


r>1이라면 제곱 몇번 해보면 알겠지만 은 자꾸 자꾸 커져 무한대 까지 갑니다.
r=-1이라면 제곱을 할때마다 의 값은 1과 -1의 반복입니다.
r<-1이라면 제곱을 할때마다 의 값은 양수와 음수를 반복하며 그 절댓값이 더 커집니다.

그런데 0<r<1일경우를 보자!!
의 값은 음수든 양수든 점점 작아지는 계속 나아 갈수록 0에 가까워집니다.

r=1인 경우는 당연히 1입니다.

3. 멀리 왔지만 이제 다시 다 다가온 등비수열의 무한 합

만약에 0<r<1가 아닌 경우에는
의 값이 일정하지 않거나(r=-1, r<-1) 너무 커져서 합(r=1, r>1)을 구할 수 가 없습니다.


그래서 의 값이 0이 되는 0<r<1 의 경우에서만 합의 값을 구할 수 있고
가 됩니다.(a는 첫번째 값!, r은 일정하게 곱해지는 값!)

이것은 제논의 역설-아르키메데스와 거북이의 달리기(클릭)에 적용하자면
처음 거리는 10m 그리고 항상 일정하게 곱해지는 값 1/10이 적용되어 계산됩니다.