노군의 수학 중독기

<~이전글  / 다음글~>

   바로 이전 글에서 수학적 대수 구조를 완성하기 위해서는 기본적으로 닫힘성 위에 결합성과 항등원 그리고 역원의 존재성에서 찾았습니다. 이렇게 하나의 구조를 우리는 군(group)이라 합니다. 이 군에서는 수학적으로 상당히 강력한 성질들이 생겨납니다.

12. 더하기의 완성을 위한 확장 : 항등원 '0'

  먼저 1번부터 시작하는 자연수의 왼쪽에 슬며시 '0'을 붙여줍니다. 이렇게만 해도 우리는 '더하기에 대한 항등원'이라는 귀중한 구조를 얻을 수 있습니다. 즉 이제 아무리 더해도 문제없는 고유의 원소가 자연수에 들어오는 것입니다. 실재로 자연수에 '0'을 포함한 집합을 '확장된 자연수'라고 하기도 합니다. 실재로 '0'을 쓰던 고대문명이 상당히 존재했던 사실로 부터 우리는 자연수처럼 쓰기도 했음을 알 수 있습니다. 하지만 이렇게 대수적으로 '0'의 쓰임이 명확해진 것은 얼마 되지 않은 일입니다.

태풍의 눈처럼 구조의 중심은 항등원이 가장 기초적으로 존재해야 합니다.

  이전 글에서 항등원을 언급했습니다만, 다시 써보자면 어떤 자연수'N'을 가져온다 하더라도 N + 0 = 0 + N = N 이 된다. 이 성질에서 우리는 덧셈에서의 가장 중심 구심점을 얻게 되는 것입니다. 이는 가장 적은 확장을 통해서 가장 큰 효과를 본 것이죠. 

'0'은 기본적으로 꼭 구조적인 의미뿐만 아니라 상징적으로도 얻는 바가 많습니다. 이 '0'하나 만으로 많은 철학적 논쟁이 지나가기도 했습니다. 이에 대해서 말장난했었던 저번 글을 링크하겠습니다. ('0'에 대한 다른 글(링크)) 하지만 '0'하나만으로는 약간 부족합니다.

13. 더하기의 완성을 위한 확장 : 역원 '음수(음의 정수)'

  결론부터 이야기하자면 바로 역원입니다. 역원은 기본적인 의미는 '항등원으로 돌아가기' 입니다. 그러기에 원소마다 돌아가야 할 길이 다르게 됩니다. 예를 들자면 1은 방금 확장되었던 '0'으로 돌아기 위해서는 1만큼, 100은 100만큼 돌아가야 합니다. 하지만 그냥 1의 역원은 1 , 100의 역원으로 100으로 쓰게 된다면 표현상 엄청난 혼란이 오기 때문에 특수한 기호를 붙입니다. 바로 '-'인 음수^[각주:1]입니다.

  즉 우리는 '-1'이란 것은 1이란 원소의 더하기에 대한 역원입니다. 하지만 우리에겐 익숙한 '-'는 역원의 개념보다는 빼기의 개념으로 익숙합니다. 역사적으로 보아도 '-'의 표현은 단순히 빼기를 위한 도구로 처음 도입되곤 하는데, 이 점으로 미루어보자면 굳이 어려운 역원의 이미지를 상기시키지 않더라도 자연스럽게 인간은 그와 상응하는 연산을 생각한 것 입니다. 하지만 구조적으로 보기 위해서는 '-'를 '빼기'라는 이미지 보다는 '더하기란 연산에서의 역원 표현'으로 생각하는 것이 더 수학적입니다.

  잘 이해가 되지 않을 때에는 이 ‘오십 보 백 보’란 속담을 생각을 하면 됩니다. 기본적인 의미야 ‘거기서 거기다.’라는 뜻이겠지만, 생각해 보면 ‘오십 보의 역원은 오십 보 백 보의 역원은 백 보가 된다.’란 역원으로 바라볼 수 있습니다. 다 말하자면 덤앤 더머더라도 덤과 더머는 다른 역원을 갖는 것이죠.

덤 앤 더머라도 서로 다른 역원을 갖습니다.

  이렇게 하다보면 자연수의 개수만큼 '-'가 붙은 "음수"가 생기게 되는 것입니다. 이런 음수의 발견을 통해서 우리가 계산에서 엄청난 이득을 구조상 획득하게 됩니다.

14. 정수에서 완성되는 '더하기' 

 자연수와 '0' 그리고 음수(음의 정수)에서 우리는 하나의 완벽함을 꿈꾸고 있습니다. 이 수체계를 정수라고 합니다. 이제 우리는 정수에서  x+3=5라는 방정식이 나왔을 때, 우리는 자신 있게 양변에 -3을 더함으로써 x=2임을 계산 할 수 있는 것입니다. 이런 계산 과정은 +3을 등호의 반대편으로 보낼 때 '-'를 추가하여 계산하는 방법을 유추 방법을 활용할 수 있습니다. 즉 중/고등학교 수에서 방정식의 가장 중이한 풀이 방법 '이항'이 더하기 안에서 가능하다는 것입니다.

  같은 의미로, 3+5 = 3+x라는 사실 역시 우리가 양변에 -3을 더하는 것으로 x=5임을 알 수 있습니다. 이런 유형의 과정들은 역원의 합이 항등원이 되고 항등원은 더하기에 전혀 영향을 주지 않아 사라지는 것을 이용한 것입니다. 뭐 간단한 계산이라고 생각되시죠? 하지만 그 간단한 계산 안에서는 정말 많은 구조가 완성되었기 때문에 가능한 것입니다. 이는 복잡한 배합 속에서 우리가 쉽게 20%의 산소를 마시는 것과 같습니다.

정수의 모형은 흡사 물의 원소 처럼 0을 중심으로 양수와 음수가 있습니다.

  그깟 더하기라고는 하지 말하면 지금까지의 의미가 무색해지겠지만, 자연수를 말할 수 있었던 근간은 태초부터 더하기뿐이었습니다. 과학으로 이야기 하자면 이 복잡하고 어려운 인간의 것이란 것도 DNA 나선형의 작은 구조 시작된 계산입니다. 이 시작이 수로 말하자면 더하기 입니다. 반대로 기독교의 비유로 하자면 아담 같은 존재이죠.

  이 작은 구조의 확장이- 믿기 어려우시겠지만 원소의 수도 변함없이(관련 내용 링크) - 구조적인 완성을 주게 됩니다. 이러한 완성이 아주 의미가 있음을 반증하는 것은 어렵지 않게 찾을 수 있습니다. 정수의 구조를 바탕으로 만든 '정수론'만 접하게 되더라도 그 작은 차이가 방대한 이론을 낳을 수 있음을 알 수 있습니다.

  그러기에 자연수와 정수의 차이가 작아 보이더라도 구조적으로 볼 때 극복할 수도 없을 만큼 큰 차이라고 할 수 있습니다.

15. 하지만 만족하기엔 아직은 이른 '곱하기'

  맨 처음 자연수를 이야기 할 당시 더하기를 언급한 후에 아주 잠깐 '곱하기'를 언급했었습니다. 물론 곱하기의 정의 자체는 더하기의 간결한 표현이란 것으로 이야기 되었죠. 역시 정수에서도 마찬가지 입니다. 연산 곱하기는 정수로 확장된 이곳에서도 기를 펴기에는 너무나도 미약합니다. 하지만 곱하기에 따른 많은 이야기들이 진행되기는 합니다.

  유클리드 호제법이라든지^[각주:2] 약수와 배수의 문제는 곱하기가 단순히 계산을 위한 것이 아니라 하나의 구조로써 충분한 이야기를 담고 있음을 생각할 수 있습니다. 하지만 방정식의 문제로 돌아가자면 곱하기는 애물단지가 됩니다. 아주 간단한 방정식인 2x=1이란 것은 정수에서 풀 수 없는 숙제 일 뿐입니다. 물론 풀어내는 방정식도 있기 마련이지만 이런 간단한 계산조차 풀어내지 못하는 체계입니다.

곱하기는 다음

  이전에 말씀 드린 적이 있는 것 같습니다. 이런 구조적인 약점은 앞으로 더 나가갈 체계의 방향입니다. 자연수에서 가장 중요한 더하기를 위해서 우리가 정수를 만들었듯이 이제까지 ‘쭈구리’ 인생이었던 '곱하기'를 위해서 다시 그 영역을 확장시키는 것입니다.

  하지만 이 길이 그렇게 쉽기만 한 것은 아닙니다. 바로 정수를 위했던 작업을 재실시해야 하기 때문입니다. 그래서 그 과정을 다음글로 살며시 미루겠습니다.

<~이전글  / 다음글~>

<~이전 / 다음~>

  "유리수와 자연수의 개수가 같다"라는
다소 믿기 어렵고 선뜻 이해되지 않는 사실에서
고대 다른 수학자들이 무한을 싫어했는지 잠시나마 이해할 수 있습니다.

이런 결과를 받고나면 왠지

'무한은 모두 같은 개수다'라는 다소 결정적인 생각이 들기도 합니다.

그러기에 다음 두 무한의 비교가 의미있을 것 같습니다.
바로 실수와 자연수의 비교입니다.

그럼 실수를 설명하자면
기본적으로 우리가 쓰는 모든 수라고 할 수 있고 기본적으로 수직선상의 모든 수라고 합니다.(더 자세한 설명은 다음에 작성하겠습니다.(데데킨트의 절단 등))

유리수와 자연수의 비교에서 처럼 약간의 작업이 필요합니다.

우선 먼저
0<a<1 구간안에서만 생각하겠습니다.

이때 구간안의 모든 수는
a = 0.xxxxxxxxx‥‥‥ 이라 표현 할 수 있습니다.

(예 0.5 = 0.50000000‥‥, 1/3=0.33333333333333‥‥)

우리가 처음에 약간 마음이 기울던 결과처럼

(아마도 수학에 관심이 있다면 다음 위의 가정의 이유를 알것이라 믿습니다.)

가정이니 만약 같다면 무리없이 짝(일대일 대응)이 지어질 것읍니다.

우선은 위 처럼 가정해 보면 이렇게 소수 하나씩 대응이 됩니다.

1 <-> 0.a₁₁a₁₂a₁₃a₁₄‥‥‥

2 <-> 0.a₂₁a₂₂a₂₃a₂₄‥‥‥

3 <-> 0.a₃₁a₃₂a₃₃a₃₄‥‥‥

4 <-> 0.a₄₁a₄₂a₄₃a₄₄‥‥‥

   .   .

k <-> 0.a₁₁a₁₂a₁₃a₁₄‥‥‥

   .

   .

이렇게 대응이 되어야 하고 가정에 의해서 일대일 이여야 합니다.

이제 원소 하나를 꺼낼 예정입니다.

예상대로 지금 위의 결론에 문제가 될 것입니다.

그 원소는 바로 다음과 같습니다.

이렇게 정의된 X에 대응되는 자연수를 찾을 예정입니다.

그런데 어렵이 않게 문제를 접할 수 있습니다.

X에 대응될 자연수가 없습니다,.

모든 k에서 a_kk ≠ x_k

가 되기 때입니다.

결국에는 X에 대응 하는 자연수를 찾지 못하니

결국은 처음에 가정했던 것과 다른 결론이 생겨버립니다.

(이런 증명법은 직접적인 증명이 어려운 증명에서 많이 쓰이는 방법입니다.)

하여튼 결론은 확실합니다.

자연수는 (0,1)구간의 실수 개수와 같다는 가정은 거짓입니다.

(0,1)을 포함 하는 구간도 자연수가 모두 커버 못하니

실수를 커버할 수 없는 것은 당연합니다.

(하지만 사실 (0.1)구간의 실수와 실수 전체의 개수는 같고 근거는 함수 y= tan(π(x+1/2))가 일대일 함수라는 것에서 알 수 있습니다.)

당연히 실수가 자연수를 포함하므로 다음과 같은 결론이 납니다.

이 결과는 지금까지(유리수) 자연수 보다 큰 무한이 없었지만

실수에 이르러서야 자연수보다 큰 무한이 나왔고 앞으로도 더 나올 수도 있다는 결론이 내려입니다.

우리는 무한이란 것의 신기함으로 가득한

힐베르트 호텔도 실수 만큼은 채울 수 없습니다.

다음 글은 이런 무한의 끝이 있을 수 있을까하는 면에서 작성하겠습니다.

<~이전 / 다음~>

이전에 자연수의 개수와 짝수의 개수가 같다는
다소 좀 이해하기 어렵지만 부정할 수 없는 결과를 내었습니다.
여기서 멈추지 말고 더 큰 수들의 개수를 비교할 필요가 있습니다.

그래서

라는 당연한 명제에 이제 도전하고자 합니다.(결론이 급하시면 맨 아래로)

먼저 자연수라는 것은 자연스럽게 생기는 즉, 우리가 어렵게 생각하지 않아도 나오는 기본적ㅗ인 수 입니다. 다만 정말로 그 확실한 정의는 다소 복잡합니다.
그러기에 자연수의 정의는 다른 글(링크 클릭)로 대신하겠습니다.

이제 유리수를 소개하겠습니다.

당연히 m=1이라고 하면 자연수는 유리수 안에 포함됩니다.

기본적으로 정수로 표현되는 분수 모두를 말하며
소수로 표현했을때
소수부분이 유한 하던지 아니면 순환하는 소수가 나오는 수를 말합니다.

유리수에 대한 기본적인 성질 중 하나는

실수라는 집합에서 보면 유리수는 조밀하게 이루어져 있다.
서로 다른 유리수 두개를 잡으면 그 사이에 무한한 유리수가 있습니다.(증명 클릭)

----------------------------------------------

  이런 성질을 보면

유리수와 자연수.. 개수 비교의 승자는 결정이 난것 처럼 보입니다.
하지만 우리는 당연하지만

비교할 가치가 있기에 다음 규칙을 생각할 수 있습니다.

1. 일단은 적어도 유리수가 자연수 개수 보다 많거나 같다.

이것은 유리수가 자연수를 포함하니 당연합니다.

2.  <유리수를 최대한 자연수에 맞추기>
만약 유리수가 n/m이고 서로소로 표현 되었다고 할때
n이 양수이면 2의 제곱수에 n을 음수라면 3의 제곱수에 m을 적용하고
m이 양수이면 5의 제곱수에 m을 음수라면 7의 제곱수에 m은 넣어 나오는 값들을 다 곱합니다.

그러니까 예를 들어

앞에서 건져낸 위대한 발견! 개수를 세는 법입니다.

하나씩 이어가는 방법으로
우리는 아주 자연스럽게 앞에 주어진 것의 개수를 셀 수 있고
우리도 모르는 세에 하나씩 짝지어 세는 법을 알게 되었으며
두 집단의 개수를 비교를 할 때 하나씩 짝을 지어 놓으면 어느쪽이 더 많은지 알게 되었습니다.

그럼 이 자연스럽게 얻어진 방법에 이름을 다시 이야기 해보겠습니다..

수학은 아주 단순 해서 이름을 짓는데 어려움이 없습니다.
(정확한 일대일 대응은 여기를 클릭!)

이제 이 일대일 대응을 통해서 모든 것의 개수를 비교하고자 합니다.
무한은 이제 신의 위치에서 자연스레 손가락 아래로 내려오게 됩니다.
무한의 입장에서 보면 참 슬픈일이지만
이제껏 홀로 지내온 것을 생각하면 더 알아봐야 할 것 입니다.

먼저 그럼 힐베르트의 호텔(클릭)을 한번 보면
힐베르트 손님들은 만원이였음에도 불구 하고 새 손님에게 방을 배정 할 수 있었고
자연수의 개수 만큼의 사람이 새로 왔음에도 방을 배정 할 수 있었습니다.

사실 이 것은 이상한 일입니다.
유한의 호텔에서는 생각지도 못한 일이 힐베르트의 호텔에서는 가능 하게 되었습니다.

이게 바로 무한의 성질이며(더 수학적으로 이야기 하면 무한의 정의 입니다.)

자연수 개수 만큼의 손님이 새로 왔을 때 원래 손님들과 새롭게 옮기던 방에 일대일 대응을 적용해보면

(자연수 개수의 원래 손님) <-> (짝수 번호의 방)      
1호실 손님 <-> 2호실
2호실 손님 <-> 4호실

             .     
        .
      n호실 손님 <-> 2n호실     

이렇게 해보니 자연수 개수의 손님과 짝수 번호의 방과 일대일 대응입니다.
신기하지만 어쩜 당연하게 생각되어 집니다.

더 깊히 생각해보면 짝수라는 것이 자연수의 일부라는 것은 잘 알고 있습니다.

그런데도
n <-> 2n 으로 대응 시키면
자연수와 짝수가 서로 빠짐없이 일대일 대응한다는 것,,,,

이것의 결론을 내어보자면

머리가 이해를 하지만 도저히 마음속 깊히 내딛어지 않는 일이지만 무한에서는 가능합니다.
물론 유한의 세계에서는

[부분]=[전체]

는 있을 수도 없는 일이며
단지 힐베르트 호텔 같이 방의 수가 자연수 개수 라는 무한개 이기 떄문에 가능합니다.
그 렇담 이 성질은 무한과 유한을 가르는 중요한 요소이고 이 사실 자체가 정의 입니다.

즉

참고로 말하자면 이렇게 될 수 없는 것을 이제 유한이라 부릅니다.

여기서 한 가지만 덧붙이자면
우리는 보통 유한을 정의하고 무한을 정의하지 못합니다.

하지만 본래는

인지와 반대로 흘러가는 이것들은 좀 더 충격적인 결과를 초래하곤 합니다.

그것은 다음글에 담겠습니다.
(집합론에서 무한집합의 수학적 정의 클릭)