노군의 수학 중독기

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증명

a. 공집합인 경우에는 φ의 원소의 개수는 0개이고 P(φ)={φ}이므로 개수가 1이다.

따라서 성립합다.

b. A가 공집합이 아니라고 하자.

당연히 P(A)는 A보다 개수가 많거나 같다(무한일 때를 고려해서)

그럼 여기서 개수가 같지만 않음을 보이면 된다.

만약 둘의 개수가 같다고 가정하자.(나중에 모순을 보일 것임)

그럼

P(A)와 P가 일대일 대응이다.

이 대응을 함수 f라고 하자.

그럼 f(x)는 P(A)의 원소로 A의 부분집합이 된다.(주의 f(x)는 집합이다.)

집합 S={x∈A│x ∉ f(x)}라고 하자.

즉 x의 원소인데 일대일 대응으로 보내면

대응되는 결과(A의 어떤 부분집합)에 x가 들어가지 않는다.

그런데 S도 P(A)의 원소 이므로 어떤 원소 e가 존재해서

f(e)=S이다.

그런데 이 e가 문제이다.

e는 S의 원소이거나 아니거나 둘 중에 하나다

(case 1) e∈S

S의 정의에 따라서 e∉f(e)

한편 f(e)=S이고 e∈S이므로 e∈f(e)이다

이것은 모순이다

(case 2) e∉S

S의 정의에 따라서 e∈f(e)

한편 f(e)=S이므로 e∉f(e)이다.

이것은 모순이다.

case 1,2 모두 모순이므로

처음에 가정한 A와 P(A)의 개수가 같다는 가정은 틀렸다!

따라서 P(A)는 항상 A보다 개수가 많다.

 
유한은 편하고 어렵지않고
누구나 노력하면 이룰 수 있습니다.
하지만 무한은 그렇지 않아
선택된자 특히 생각하는 자만이 얻을 수 있는 영역이었습니다.
사실 그 선을 넘는 것을 두려워하였죠.

우리가 알고 있는 무한에 대한 어려움은 어렵지 않게 생각해낼 수 있는데
그중에 우리가 가장 널리 알려져 있는 것이
제논의 역설 중 아킬레스와 거북이 문제입니다.(클릭)
제논의 역설은 단지 시간의 반씩 나누어지는 무한합에서 걸리고 맙니다.
제논의 시절에서는 무한번의 합이라는 것은 생각치 못했습니다.
하지만 우리 즉 무한을 다뤄본 사람들은 어렵지 않게(사실은 수열을 배우고 나서) 해결할 수 있습니다.

  이제 조금 심도 있는 질문을 하나 하고자 합니다.

이전에 짝수, 자연수, 유리수, 실수라는 무한개의 개수를 비교하면서 아리송한 결론을 얻었습니다.
짝수 - 자연수 - 유리수는 실제로 같은 개수(더 유식한 말로는 기수)였지만
 실수는 자연수 개수 보다 많았습니다.

이제 이런의문을 갖게 됩니다.

혹시 실수보다 더 많은 무한은 있을 까?
또 무한이라는 개수의 끝이 있을 까?

그러면 다음 과정을 거쳐야 한다.
1. 실수보다 더 큰 집합은 어떤 것이 있을 까?
2. 그럼 그 무한 개수를 갖는 집합은 실수 개수보다 많을까?

1. 실수보다 더 큰 집합은 어떤 것이 있을 까?
이 질문에 답하기 전에 개념 하나만 더 도입해야합니다.
그것은 바로 멱집합(power set(자세한 이야기는 클릭)입니다.
조금 생소할지 모르나 집합의 부분집합개념만 알면 금방 이해되는 집합입니다.

예를 들면 A = {1,2,3}이란 집합의

A의 모든 부분집합을 구해보면
그럼 Φ(공집합), {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} 이렇게 8개입니다.

이때,

부분집합을 다 모아 다시 집합으로 만들면 그것이 바로 A의 멱집합이라 하고 P(A)라 표현합니다.

재미있게도 A가 원소의 개수가 n개이면(유한개)
P(A)의 원소의 개수는 2의 n제곱이 됩니다.(그 이유는 여기를 클릭)
다시 말해 2를 n번 곱한것입니다.

(그래서 원소가 3개인 집합의 멱집합 원소개수-> 2*2*2=8)

이 멱집합을 이용하면 무한에서 개수가 더 많은지는 몰라도
원래 집합보다 큰 집합을 만들 수 있습니다.

따라서 실수를 R이라고 할때 P(R)는 실수보다 큰 집합이 됩니다.

또한 우리는 어떤 집합이 나와도 멱잡합을 통해서 더 큰 집합을 구 할 수 있다.

2. 그럼 P(R)은 실수 R보다 정말 개수가 많을 까?

이 과정은 상당히 복잡할 수 있음을 미리 공지하지만
천천히 따라오면 재미있는 증명의 과정입니다.
우선 2번을 좀 더 거창하게 쓰면 다음과 같은 명제를 만들수 있고
이것이 바로 그 유명한 칸토어의 정리 이며
사실 결론만 알고 지나가는 것이 정신 건강에 좋으나
확실한 증명을 원하시면 다른 글을(클릭) 참고하시면 됩니다.

<집합 A에 대해서 A의 개수보다 P(A)의 개수가 더 많다>

따라서 어떤 집합을 잡던간에 그것보다 더 개수가 많은 집합을 만들 수 있습니다.

즉 우리가 실수 R이 가장 개수가 많았다면
P(R)이 개수가 더 많고
P(P(R))이 더 많고
P(P(P(R)))이 더 많고.. 무한이 이렇게 확장 할 수 있단 것입니다.

이렇게 하다 보면 역시..
무한의 끝을 보려 했던 우리의 노력은 헛된 노력이 됩니다만
우리는 더 큰 무한을 만드는 법을 배웠다.

다소 힘이 빠지지만 무서운 결론은

여기서 다른 질문 하나 던지고 마칩니다.

우리가
자연수개수 다음에 실수
그다음에 멱집합 실수...
이런식으로 무한이란 것도 자연수 처럼1번 무한, 2번 무한, 3번 무한 이렇게 할 수 있지 않을 까?하는 질문을 시작으로
칸토어이후 많은 도전이 있었고 상금이 걸려있는 힐베르트 질문의 1번을 당당히 차지한 문제입니다.
이것은 다음에 논의하도록 하고무한의 끝이 없음을 다시한번 상기하면 여기까지 줄입니다.