칸토어와 집합론

게오르크 페르디난트 루트비히 필리프 칸토어
(Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845년 3월 3일 - 1918년 1 월 6일)

러시아의 페테르부르크에서 태어난 독일 수학자로 집합론의 창시자로 널리 알려졌다.

그의 아버지는 부유한 유태인 상인이였는데
부친이 1856년 독일의 프랑크푸르트로 이사한 후 독일에 계속 머물게 되었고
1863년에 스위스의 취리히 대핵에 입학하였는데 아버지의 사망을 이유로
다음해에 바로 베를린 대학으로 옮겨와 수학, 물리학, 철학을 공부했습니다.

특히 그는 수학과 철학의 관계에 집중적으로 몰두한 그는
처음에는 정수론 , 부정방정식, 삼각급수에 있었는데
삼각급수의 미묘한 이론에 영감은 칸토어는 해석학의 기초에 관심을 두고
데데킨트의 기학학적 절단에 반영된 무리수와는
다른 무리수의 아름다운 취급법을 만들어냈죠.

하지만 칸토어는집합론과 무한이론에 몰두하였고
끝내 1874년에 "집합론의 한 고찰"이라는 논문집을 제출하였습니다.
칸토어는 수학 연구의 아주 새로운 분야를 창조한 것이고
특히 초한수이론을 발천시켜 유한수의 계산법과 유사한 초한수의 계산법을 만들었습니다.

하지만 당시 독일 수학계에서 막강한 힘을 갖고 있던 수학자이며
논문집 편집위원장으로 있던  "크로네커"가 편집실을 통해 발표를 억제시키고 말았는데
이일로 칸토어는 상처가 깊었고 크로네커와의 악연이 계속이어졌습니다.
크로네커는 직관주의자로 칸토어의 집합론에 대한 생각은 수학의 위기를 초래할 것이라고 비판했죠.

그 이유는 집합론의 초한수 대한 이론 자체가 직관과는 거리가 먼 이론이였기 때문입니다.
무한집합의 크기가 다른점, 유리수와 자연수의 수가 같은 것 그리고 실수집합의 비가산성
특히 여기서 대각선 논법으로 증명한 것으로 유명합니다.
그러나 그는 연속체가설을 증명하기 위해 노력했으나 성공하지는 못하였습니다.

칸토어가 인정받는 것은 1897년 취리히에서 개최된 제1회 국제 수학자 회의인데
집합론이 수학의 기초와 철학에 깊은 의가 있음이 인식되며 이름이 알려지게 됩니다.
1901년에는 런던수학회의 명예회원으로,
1902년에는 크리스티나 대학 및 성앤드리우스 대학에서 명예학위를 수여했고
1904년에는 런던 왈립 협회로부터 실베스터 메달을 받았습니다.

하지만 크로네커 등과의 계속되는 갈등과 러셀의 역리등을 해결하는 인생속에서
칸토어는 신경쇠약 후에 우울증에 걸리고 말았고
이후 문학과 종교에 대한 글을 내기 시작해

신학과 관련이 있는 절대 무한의 개념을 발전시켰는데
결국에는  제1차 세계대전 내내 가난했고 심지어 굶주리기까지 하며 비참하게 살다가,
결국 독일의 할레지역 정신병원에서 한 천재는 삶의 끝을 맞이했습니다.

오늘날 칸토어의 집합론은 거의 모든 수학분야의 기초가 되고 있으며
특히 위상수학과 실함수론에서 중요하게 쓰여졌습니다.
사실 집합론에는 많은 역설이 나타냈으나 하나씩 보완하고 있습니다.
재미있는 사실은
칸토어와 크로네커의 논쟁은 현재까지도 형식론자와 직관론자들의 논쟁으로 이어지고 있습니다.