유클리드와 그의 원론

알렉산드리아의 에우클레이데스(Ευκλείδης, 기원전 365년 경 - 기원전 275년 경) 또는 영어식으로 유클리드(Euclid)는 알렉산드리아에서 활동한 그리스의 수학자이다.

유클리드의 저서 원론은 《스토이케이아》13권으로
《기하학 원본》 또는 《유클리드 원론》으로 불리우며
수학 저서 중 최고의 베스트셀러이며 15세기 인쇄술 발명 이 후 천쇄이상 출판 되었고
현재 수학교사서 또한 유클리드 원론의 재탕이라 해도 크게 문제가 되지 않는다.

보통은 '기하학의 아버지' 라 불리우나 사실 "엄격함의 아버지"라 하는 것이 더 옳다.
유클리드는 단지 5개의 주춧돌이 되는 공준을 가지고 단지 3가지 원칙으로 유클리드 원론을 완성 시킨것이다.
이런 공준에서 부터 결과를 이끌어 내는 논리적인 전개는 근대 수학의 근원이라 할 수 있다.

"기하학에 왕도는 없다"는 말은 유클리드 원론의 기하학은 어떠한 편의를 위한 것이 아닌
수학적인 논리 이외의 길을 가지 않는 다는 말의 반증이다.

유클리드의 기하학은 수백년 동안 변하지 않는 진리로 받아 들어졌지만

로바체프스키 리만 아인슈타인등이 제시한 비유클리드 기하학의 존재가 밝혀지면서

지금은 유클리드 기하학이라고 불린다.

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유클리드 원론의 5가지 공준

Ⅰ. 임의의 점에서 다른 임의의 점으로 한 직선을 그을 수 있다.

Ⅱ. 한 선분은 직선 위에엇 연속적으로 연장할 수 있다.

Ⅲ. 임의의 중심과 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다.

Ⅳ. 모든 직각은 서로 같다.

Ⅴ. 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점이 있을 때,

     그 점을 지나면서 원래의 직선에 평행한 직선을 오직 하나 그을 수 있다.

note. Ⅴ가 유명한 평행공리 이며 이때 평행한 직선이 존재하지 않는 타원기하학

         평행한 직선이 두개 이상일 때의 쌍곡기하학의 존재가 성립함이 증명되어

         비유클리드 기하학이 생겨났다.

유클리드 기하학의 3가지 원칙

1. 눈금없는 자를 이용한다.

2. 컴퍼스를 사용한다.

3. 유한개의 단계를 거쳐야 한다.

하지만 기하학 자체는 결과를 보여주는 용도이며

실제 증명은 그림이 아닌 논리로만 진행됨.

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《원론》의 내용은 다음과 같다. - 위키백과 사전

제1권에서 제 6권까지는 제5권을 제외하고 평면기하가 들어 있다.

• 제1권 : 필수적이고 예비적인 정의와 설명 및 공준과 공리로 시작한다. 비록 오늘날의 수학자들은 ‘공리’와 ‘공준’이라는 단어를 동의어로 사용하고 있지만 고대 그리이스 사람들의 일부는 그것을 달리 사용했었으며 유클리드가 채택한 그 두 단어의 차이점은 공리는 모든 학문 분야에 공통인 초기 가정인 반면에 공준은 연구하고자 하는 특별한 분야에 특유한 가정인 것으로 여겨진다. 제1권의 정리 중에는 합동, 평행선, 직선으로 이루어진 도형 등에 관한 친숙한 정리들이 포함되어 있다. 그 책의 마지막 두 정리인 정리 47과 48은 피타고라스 정리와 그 역이다.

• 제2권 : 겨우 14개의 정리만을 포함하고 있는 작은 책인데 여기에서는 주로 피타고라스 학파의 기하 대수학을 다루고 있다. 이 책의 정리 12와 13은 근본적으로 오늘날 코사인 법칙으로 알려진 피타고라스 정리의 일반화임을 지적했었다.

• 제3권 : 39개의 정리로 이루어졌으며, 원, 현, 할선, 접선, 연관된 각의 측정 등에 관한 정리들을 포함하고 있다.

• 제4권 : 16개의 정리로 이루어져 있으며 자와 컴퍼스를 이용한 작도, 주어진 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우의 작도, 정다각형의 작도를 포함하고 있다.

• 제5권 : 에우독소스의 비율 이론에 대한 대가다운 설명에 충당했다. 이 책은 수학적인 문헌 중에서 가장 훌룡한 걸작 중의 하나로 간주된다.

• 제6권 : 에우독소스의 이론을 닮음 도형의 연구에 응용하고 있다.

제7권에서 10권까지는 102개의 정리를 포함하고 있는데 기초적인 수론을 다루고 있다.

• 제 7권 : 두 개 이상의 정수에 대한 최대공약수를 구하는 방법(유클리드의 호제법)으로 시작된다. 또한 초기 피타고라스 학파의 비율 이론에 대한 설명을 발견할 수 있다.

• 제 8권 : 주로 연비례와 그것과 관련된 등비수열을 다루고 있다. 만약 a : b = c: d가 성립하면 a, b, c, d는 등비수열을 형성한다.

• 제9권 : 수론에서 중요한 많은 정리들이 있는데 먼저 정리14는 중요한 ‘산술의 기본 정리(Fundamental theorem of arithmetic)’즉 “1보다 큰 임의의 정수는 반드시 소수들의 곱으로 표현될 수 있으며 근본적으로 단 한가지 방법으로 표현된다.”는 정리와 동치이다. 정리 20에서 ‘소수의 개수는 무한하다.’는 사실에 대한 매우 세련된 증명을 찾아볼 수 있다. 정리 35는 등비수열의 첫 n개의 항의 합에 대한 공식을 기하적으로 유도했다. 그리고 이 책의 마지막 정리인 정리 36은 짝수인 완전수를 만드는 놀라운 공식을 증명하고 있다.

• 제10권 : 무리수들, 즉 어떤 주어진 선분과 같은 단위로 잴 수 없는 선분을 다루고 있다.

제11권에서 제13권까지는 입체기하가 들어있다.

• 제11권 : 선과 면·면과 면·평행육면체·정육면체·각기둥

• 제12권 : 원의 면적·각뿔·각기둥·원뿔·원기둥·구의 체적(단, 원주율은 쓰지 않음. 원의 면적은 지름의 제곱에 비례하고 구의 체적은 지름의 세제곱에 비례함을 이용)

• 제13권 : 정다면체(정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 다섯 종류만이 정다면체임을 증명함.)