노군의 수학 중독기

1862년 쾨니히스베르크(Königsberg)에서 오토 힐베르트와 마리아 힐베르트의 장남으로 출생했다. 그의 할아버지와 아버지는 모두 판사였다. 김나지움(독일의 고등학교)까지는 수학 이외의 과목에 흥미가 없어 그리 좋은 성적을 내지 못한다. 그러나, 좀 더 개방적인 학교로 옮긴 후 공부에 흥미를 갖기 시작하여 수학에서 최우수 성적을 획득한다.

1880년 쾨니히스베르크 대학에 입학. 하인리히 베버에게서 수론과 함수론 강의를 듣고, 와중에 당시 유행하던 불변식론을 접하게 된다. 힐베르트의 2년 연하인 헤르만 민코프스키도 베를린 대학에서의 청강을 마치고 쾨니히스베르크로 돌아왔고, 베버의 후임으로 π의 초월성을 증명한 린데만이 오고, 그와 같이 아돌프 후르비츠(Adolf Hurwitz)가 사강사로 부임하여, 힐베르트, 민코프스키, 후르비츠 세 사람은 평생의 친구가 된다.

대수적 형식의 불변성에 대한 문제를 독창적으로 풀어내고, 1884년 12월 구두시험을 통과하여 박사학위를 취득한다. 다음해 여름 후르비츠의 권유로 펠릭스 클라인이 있던 라이프치히 대학으로 간다. 1886년 클라인의 권유로 파리 유학을 떠나, 당시 최고의 수학자 앙리 푸앵카레(Poincaré)등과 교우하고, 귀국길에 레오폴트 크로네커도 만나게 된다. 귀국 후 쾨니히스베르크에서 불변식에 관한 논문과 가 장 일반적인 주기함수라는 제목의 강의시험을 통과하여 교수자격을 얻는다. 1888년 초 파울 고르단(Paul Gordan)을 만나 고 르단의 문제에 관심을 갖게 된다. 이 후 라차루스 푹스, 헬름홀츠, 바이어슈트라스, 코르네커등을 방문한다. 1888년 9월 귀향하여 고르단의 문제의 답을 담은 논문을 제출한다.

1892년 30세의 나이로 결혼을 하고, 취리히로 간 후르비츠의 후임자로 부교수 자리에 오른다. 1893년 e와 π의 초월성에 대한 기존의 증명과는 다른 증명을 내 놓는다. 곧 뮌헨으로 떠난 린데만의 뒤를 이어 정교수가 된다. 1893년 독일 수학회에서 민코프스키와 당시까지의 대수적 수론에 대한 보고서를 작성하라는 요청을 받았다. 1895년 괴팅겐 대학 교수로 부임하여, 수론보고서(Zahlbericht) 작성에 힘을 기울인다. 1897년 4월 자기 몫을 작성하지 못한 민코프스키와 별도로 수론 보고서를 발표하고, 이것으로 수학계의 명성을 얻는다.1898년 ~1899 년 겨울학기에 행한 기하학의 기초에 대한 강의를 정리하여 기하학의 기초를 발간한다. 여기서 힐베르트는 유클리드 기하학 공리계의 부족한 점을 보완하였다. 나아가 한 공리체계는 완비적이고, 서로 독립적이고, 무모순성을 갖추어야 한다는 주장을 한다. 기하학의 연구를 계속하며, 디리클레 원리의 결점을 보완하며, 변분법에 대한 연구를 계속한다.

1900년 파리에서 개최된 국제 수학자 회의에서 유명한 힐베르트의 문제들 23개를 제기한다. 1901년 이바르 프레드홀름(Ivar Fredholm)의 논문을 접하고 적분방정식론의 연구에 몰두한다. 1902년 베를린으로부터 푹스의 후임자리를 제안받으나 거절하고, 그 대신 괴팅겐에 민코프스키의 자리를 요구하여 관철시킨다. 1908년 오랜 미제였던 웨어링(Waring)의 문제를 증명하여 수학계를 놀라게 한다. 1909년 오랜 친구였던 민코프스키가 맹장염으로 사망한다.

1912년 적분 방정식에 관한 연구를 종합한 책을 발간한다. 이후 물리학을 수학과 같이 공리적 체계 위에 세우려는 노력을 시작한다. 1915년 11월 아인슈타인의 일반상대성이론과 거의 같은 시기에 물리학의 기초라는 논문으로 같은 결론을 얻는다.

1차 세계 대전후 브로베르(Brouwer)등의 직관주의에 대항하여 형식주의를 주장한다. 1925년 악성빈혈증에 걸려 사경을 헤맸으나, 미국에 있던 제자들의 도움으로 다음해 쾌유한다. 1928년 이탈리아 볼로냐에서 개최된 세계 수학자 대회에 독일의 수학자들의 반대를 무릅쓰고, 일단의 수학자들을 이끌고 참석한다.

1930년 봄 교수직에서 정년퇴임한다. 이 해 가을 쾨니히스베르크로부터 명예시민증을 수여받는다. 괴델의 결과로 어떤 공리체계의 무모순성의 증명이 불가능함을 알게 된다. 그러나 조건을 약화시켜 증명론을 발전시키려는 두 편의 논문을 발표한다.

80세 때 길에서 넘어져 다친 후 병발증이 발생하여, 제2차 세계 대전이 한창이던 1943년 2월 14일 81세를 일기로 사망한다.

-위키백과 사전-

힐베르트의 묘비에는 그가 은퇴하면서 행한 고별 연설의 마지막에 남긴 유명한 경구가 적혀 있다.

유클리드의 기하학은 수백년 동안 변하지 않는 진리로 받아 들어졌지만

로바체프스키 리만 아인슈타인등이 제시한 비유클리드 기하학의 존재가 밝혀지면서

지금은 유클리드 기하학이라고 불린다.

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유클리드 원론의 5가지 공준

Ⅰ. 임의의 점에서 다른 임의의 점으로 한 직선을 그을 수 있다.

Ⅱ. 한 선분은 직선 위에엇 연속적으로 연장할 수 있다.

Ⅲ. 임의의 중심과 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다.

Ⅳ. 모든 직각은 서로 같다.

Ⅴ. 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점이 있을 때,

     그 점을 지나면서 원래의 직선에 평행한 직선을 오직 하나 그을 수 있다.

note. Ⅴ가 유명한 평행공리 이며 이때 평행한 직선이 존재하지 않는 타원기하학

         평행한 직선이 두개 이상일 때의 쌍곡기하학의 존재가 성립함이 증명되어

         비유클리드 기하학이 생겨났다.

유클리드 기하학의 3가지 원칙

1. 눈금없는 자를 이용한다.

2. 컴퍼스를 사용한다.

3. 유한개의 단계를 거쳐야 한다.

하지만 기하학 자체는 결과를 보여주는 용도이며

실제 증명은 그림이 아닌 논리로만 진행됨.

《원론》의 내용은 다음과 같다. - 위키백과 사전

제1권에서 제 6권까지는 제5권을 제외하고 평면기하가 들어 있다.

• 제1권 : 필수적이고 예비적인 정의와 설명 및 공준과 공리로 시작한다. 비록 오늘날의 수학자들은 ‘공리’와 ‘공준’이라는 단어를 동의어로 사용하고 있지만 고대 그리이스 사람들의 일부는 그것을 달리 사용했었으며 유클리드가 채택한 그 두 단어의 차이점은 공리는 모든 학문 분야에 공통인 초기 가정인 반면에 공준은 연구하고자 하는 특별한 분야에 특유한 가정인 것으로 여겨진다. 제1권의 정리 중에는 합동, 평행선, 직선으로 이루어진 도형 등에 관한 친숙한 정리들이 포함되어 있다. 그 책의 마지막 두 정리인 정리 47과 48은 피타고라스 정리와 그 역이다.

• 제2권 : 겨우 14개의 정리만을 포함하고 있는 작은 책인데 여기에서는 주로 피타고라스 학파의 기하 대수학을 다루고 있다. 이 책의 정리 12와 13은 근본적으로 오늘날 코사인 법칙으로 알려진 피타고라스 정리의 일반화임을 지적했었다.

• 제3권 : 39개의 정리로 이루어졌으며, 원, 현, 할선, 접선, 연관된 각의 측정 등에 관한 정리들을 포함하고 있다.

• 제4권 : 16개의 정리로 이루어져 있으며 자와 컴퍼스를 이용한 작도, 주어진 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우의 작도, 정다각형의 작도를 포함하고 있다.

• 제5권 : 에우독소스의 비율 이론에 대한 대가다운 설명에 충당했다. 이 책은 수학적인 문헌 중에서 가장 훌룡한 걸작 중의 하나로 간주된다.

• 제6권 : 에우독소스의 이론을 닮음 도형의 연구에 응용하고 있다.

제7권에서 10권까지는 102개의 정리를 포함하고 있는데 기초적인 수론을 다루고 있다.

• 제 7권 : 두 개 이상의 정수에 대한 최대공약수를 구하는 방법(유클리드의 호제법)으로 시작된다. 또한 초기 피타고라스 학파의 비율 이론에 대한 설명을 발견할 수 있다.

• 제 8권 : 주로 연비례와 그것과 관련된 등비수열을 다루고 있다. 만약 a : b = c: d가 성립하면 a, b, c, d는 등비수열을 형성한다.

• 제9권 : 수론에서 중요한 많은 정리들이 있는데 먼저 정리14는 중요한 ‘산술의 기본 정리(Fundamental theorem of arithmetic)’즉 “1보다 큰 임의의 정수는 반드시 소수들의 곱으로 표현될 수 있으며 근본적으로 단 한가지 방법으로 표현된다.”는 정리와 동치이다. 정리 20에서 ‘소수의 개수는 무한하다.’는 사실에 대한 매우 세련된 증명을 찾아볼 수 있다. 정리 35는 등비수열의 첫 n개의 항의 합에 대한 공식을 기하적으로 유도했다. 그리고 이 책의 마지막 정리인 정리 36은 짝수인 완전수를 만드는 놀라운 공식을 증명하고 있다.

• 제10권 : 무리수들, 즉 어떤 주어진 선분과 같은 단위로 잴 수 없는 선분을 다루고 있다.

제11권에서 제13권까지는 입체기하가 들어있다.

• 제11권 : 선과 면·면과 면·평행육면체·정육면체·각기둥

• 제12권 : 원의 면적·각뿔·각기둥·원뿔·원기둥·구의 체적(단, 원주율은 쓰지 않음. 원의 면적은 지름의 제곱에 비례하고 구의 체적은 지름의 세제곱에 비례함을 이용)

• 제13권 : 정다면체(정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 다섯 종류만이 정다면체임을 증명함.)

자유롭게 날고자 하여 나의 날개를 살펴보니

날개에 비해 너무 커버린 나를 발견하다.

과거만을 그리며 날지 못함에 슬퍼하다가

고개를 숙여보니

나에게 두 발이 있었고

비로소 나는 이 땅위에 서게 되었다.

"그림자가 없다면 이미 빛도 없다."

서로 이면의 불완전한 존재에 대해 서운한 감정을 가질 필요 없다.

만약에 상대방의 모든 것을 알았다고 판단한 순간

당신은 모든 것을 모른다고 고백하는 순간이다.

무지는 항상 지의 뒤에 존재 하며 무지 없지는 지란 존재할 수 없다.

그러므로 가면의 그림자는 본성의 진실을 존재하게 한다.

서로의 그림자를 벗기려 하지마라.

그림자를 보지 못한 것이 벌거벗은 서로를 보는 것보다 낮다.

가 면의 그림자가 싫다면

더욱더 사랑하고 더욱더 인내하여 더 크게 상대방을 비춰라

가식과 인격은 단지 의지의 유무일 뿐이다.

만약 서로를 정말 사랑한다면 서로에 대해 그림자를 가져라.

다만 그 그림자를 상대방의 반대편에 두자.