노군의 수학 중독기

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   바로 이전 글에서 수학적 대수 구조를 완성하기 위해서는 기본적으로 닫힘성 위에 결합성과 항등원 그리고 역원의 존재성에서 찾았습니다. 이렇게 하나의 구조를 우리는 군(group)이라 합니다. 이 군에서는 수학적으로 상당히 강력한 성질들이 생겨납니다.

 

군의 정의 더보기

   이런 면에서 먼저 살펴보았던 자연수는 상당히 온전하지 않은 대수적 구조임을 알 수 있습니다. 자연수는 더하기에서 조차 항등원과 역원을 포함하지 않는 불완전한 구조이기 때문입니다. 그렇기에 몇 가지 체계를 더하는 작업이 필요합니다. 하지만 다행이도 우리가 경험상 충분히 자연수가 결합적인 성질을 만족함을 알고 있습니다. 그러기에 적어도 한 가지 구조는 만족합니다. 따라서 지금 부터 2가지만 완성하면 더하기에 대해서 구조적 완성되겠습니다.

   

12. 더하기의 완성을 위한 확장 : 항등원 '0'

  먼저 1번부터 시작하는 자연수의 왼쪽에 슬며시 '0'을 붙여줍니다. 이렇게만 해도 우리는 '더하기에 대한 항등원'이라는 귀중한 구조를 얻을 수 있습니다. 즉 이제 아무리 더해도 문제없는 고유의 원소가 자연수에 들어오는 것입니다. 실재로 자연수에 '0'을 포함한 집합을 '확장된 자연수'라고 하기도 합니다. 실재로 '0'을 쓰던 고대문명이 상당히 존재했던 사실로 부터 우리는 자연수처럼 쓰기도 했음을 알 수 있습니다. 하지만 이렇게 대수적으로 '0'의 쓰임이 명확해진 것은 얼마 되지 않은 일입니다.

  이전 글에서 항등원을 언급했습니다만, 다시 써보자면 어떤 자연수'N'을 가져온다 하더라도 N + 0 = 0 + N = N 이 된다. 이 성질에서 우리는 덧셈에서의 가장 중심 구심점을 얻게 되는 것입니다. 이는 가장 적은 확장을 통해서 가장 큰 효과를 본 것이죠. 

'0'은 기본적으로 꼭 구조적인 의미뿐만 아니라 상징적으로도 얻는 바가 많습니다. 이 '0'하나 만으로 많은 철학적 논쟁이 지나가기도 했습니다. 이에 대해서 말장난했었던 저번 글을 링크하겠습니다. ('0'에 대한 다른 글(링크)) 하지만 '0'하나만으로는 약간 부족합니다.

   

13. 더하기의 완성을 위한 확장 : 역원 '음수(음의 정수)'

  결론부터 이야기하자면 바로 역원입니다. 역원은 기본적인 의미는 '항등원으로 돌아가기' 입니다. 그러기에 원소마다 돌아가야 할 길이 다르게 됩니다. 예를 들자면 1은 방금 확장되었던 '0'으로 돌아기 위해서는 1만큼, 100은 100만큼 돌아가야 합니다. 하지만 그냥 1의 역원은 1 , 100의 역원으로 100으로 쓰게 된다면 표현상 엄청난 혼란이 오기 때문에 특수한 기호를 붙입니다. 바로 '-'인 음수^[각주:1]입니다.

  즉 우리는 '-1'이란 것은 1이란 원소의 더하기에 대한 역원입니다. 하지만 우리에겐 익숙한 '-'는 역원의 개념보다는 빼기의 개념으로 익숙합니다. 역사적으로 보아도 '-'의 표현은 단순히 빼기를 위한 도구로 처음 도입되곤 하는데, 이 점으로 미루어보자면 굳이 어려운 역원의 이미지를 상기시키지 않더라도 자연스럽게 인간은 그와 상응하는 연산을 생각한 것 입니다. 하지만 구조적으로 보기 위해서는 '-'를 '빼기'라는 이미지 보다는 '더하기란 연산에서의 역원 표현'으로 생각하는 것이 더 수학적입니다.

  잘 이해가 되지 않을 때에는 이 ‘오십 보 백 보’란 속담을 생각을 하면 됩니다. 기본적인 의미야 ‘거기서 거기다.’라는 뜻이겠지만, 생각해 보면 ‘오십 보의 역원은 오십 보 백 보의 역원은 백 보가 된다.’란 역원으로 바라볼 수 있습니다. 다 말하자면 덤앤 더머더라도 덤과 더머는 다른 역원을 갖는 것이죠.

  이렇게 하다보면 자연수의 개수만큼 '-'가 붙은 "음수"가 생기게 되는 것입니다. 이런 음수의 발견을 통해서 우리가 계산에서 엄청난 이득을 구조상 획득하게 됩니다.

  

14. 정수에서 완성되는 '더하기' 

 자연수와 '0' 그리고 음수(음의 정수)에서 우리는 하나의 완벽함을 꿈꾸고 있습니다. 이 수체계를 정수라고 합니다. 이제 우리는 정수에서  x+3=5라는 방정식이 나왔을 때, 우리는 자신 있게 양변에 -3을 더함으로써 x=2임을 계산 할 수 있는 것입니다. 이런 계산 과정은 +3을 등호의 반대편으로 보낼 때 '-'를 추가하여 계산하는 방법을 유추 방법을 활용할 수 있습니다. 즉 중/고등학교 수에서 방정식의 가장 중이한 풀이 방법 '이항'이 더하기 안에서 가능하다는 것입니다.

  같은 의미로, 3+5 = 3+x라는 사실 역시 우리가 양변에 -3을 더하는 것으로 x=5임을 알 수 있습니다. 이런 유형의 과정들은 역원의 합이 항등원이 되고 항등원은 더하기에 전혀 영향을 주지 않아 사라지는 것을 이용한 것입니다. 뭐 간단한 계산이라고 생각되시죠? 하지만 그 간단한 계산 안에서는 정말 많은 구조가 완성되었기 때문에 가능한 것입니다. 이는 복잡한 배합 속에서 우리가 쉽게 20%의 산소를 마시는 것과 같습니다.

  그깟 더하기라고는 하지 말하면 지금까지의 의미가 무색해지겠지만, 자연수를 말할 수 있었던 근간은 태초부터 더하기뿐이었습니다. 과학으로 이야기 하자면 이 복잡하고 어려운 인간의 것이란 것도 DNA 나선형의 작은 구조 시작된 계산입니다. 이 시작이 수로 말하자면 더하기 입니다. 반대로 기독교의 비유로 하자면 아담 같은 존재이죠.

  이 작은 구조의 확장이- 믿기 어려우시겠지만 원소의 수도 변함없이(관련 내용 링크) - 구조적인 완성을 주게 됩니다. 이러한 완성이 아주 의미가 있음을 반증하는 것은 어렵지 않게 찾을 수 있습니다. 정수의 구조를 바탕으로 만든 '정수론'만 접하게 되더라도 그 작은 차이가 방대한 이론을 낳을 수 있음을 알 수 있습니다.

  그러기에 자연수와 정수의 차이가 작아 보이더라도 구조적으로 볼 때 극복할 수도 없을 만큼 큰 차이라고 할 수 있습니다.

 

15. 하지만 만족하기엔 아직은 이른 '곱하기'

  맨 처음 자연수를 이야기 할 당시 더하기를 언급한 후에 아주 잠깐 '곱하기'를 언급했었습니다. 물론 곱하기의 정의 자체는 더하기의 간결한 표현이란 것으로 이야기 되었죠. 역시 정수에서도 마찬가지 입니다. 연산 곱하기는 정수로 확장된 이곳에서도 기를 펴기에는 너무나도 미약합니다. 하지만 곱하기에 따른 많은 이야기들이 진행되기는 합니다.

  유클리드 호제법이라든지^[각주:2] 약수와 배수의 문제는 곱하기가 단순히 계산을 위한 것이 아니라 하나의 구조로써 충분한 이야기를 담고 있음을 생각할 수 있습니다. 하지만 방정식의 문제로 돌아가자면 곱하기는 애물단지가 됩니다. 아주 간단한 방정식인 2x=1이란 것은 정수에서 풀 수 없는 숙제 일 뿐입니다. 물론 풀어내는 방정식도 있기 마련이지만 이런 간단한 계산조차 풀어내지 못하는 체계입니다.

  이전에 말씀 드린 적이 있는 것 같습니다. 이런 구조적인 약점은 앞으로 더 나가갈 체계의 방향입니다. 자연수에서 가장 중요한 더하기를 위해서 우리가 정수를 만들었듯이 이제까지 ‘쭈구리’ 인생이었던 '곱하기'를 위해서 다시 그 영역을 확장시키는 것입니다.

  하지만 이 길이 그렇게 쉽기만 한 것은 아닙니다. 바로 정수를 위했던 작업을 재실시해야 하기 때문입니다. 그래서 그 과정을 다음글로 살며시 미루겠습니다.

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이전 글을 통해서 더하기와 곱하기를 통해서 자연수란 공간을 만들어보았습니다. 이는 자연수란 구조가 그저 자연스럽게 쓰인다라는 쓰임이나 목적에서 벗어나 하나의 당위성 혹은 하나의 구조적 기초를 말하는 것과 같습니다. 특히 자연수는 곱하기보다는 더하기로 생성된 공간입니다. 그러기에 자연수란 공간은 더하기라는 수학적 구조의 완성에 욕심이 많을 수 밖에 없습니다.

하지만 이에 앞서 그럼 수학적 구조가 완성된다는 것에 집중하고 싶습니다. 과연 어떻게 해야 수학적으로 하나의 연산이 구조적으로 완성될 수 있을 까요? 가장 기초는 preview에서 언급한 닫힘성입니다. 어떤 구조든 그 안에서 해결되지 않는 연산을 받아들일 수 없기 때문입니다. 그러기에 먼저 닫혀있어야 합니다. 그 다음을 이을 중요한 세가지가 있습니다. 카메라를 받혀주는 든든한 삼각대 처럼 말입니다.




8. 큰 스승 - 항등원

두 가지 중에서 먼저 언급할 것은 '항등원'입니다. 고등학교에서 한번쯤 들어왔을 단어입니다만 조금 우화시켜보자면,  연산이라는 것을 아무리 시행해도 전혀 '쓸모 없는' 원소입니다. 사실 전혀 쓸모 없는 연산이지만 그것은 연산에서의 일이고 실재적으론 구조상 가장 중요한 구심점이며 주인공이라 할 수 있습니다. 그럼 그 쓸모 없다는 것을 하나의 식으로 표현하면 다음과 같습니다.

항등원이 만약 e라고 한다하면
a ○ e = a
          = e ○ a 입니다. 조건에 대해서 더 자세하게는 아래에 적겠습니다만 중요하진 않습니다.

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정확하게 말하자면 어떠한 원소를 상대(연산)하더라도 그 자신의 값을 돌려주는 것이죠. 그래서 항등원을 비유하자면 균형의 추 같은 역활입니다. 한 평생 조용히 한자리를 지키는 수도승과 같은 이미지 처럼 흔들림이 없는 값입니다. 그러기에 만약 한 구조와 연산에 항등원이 없다면 마치 모두를 지지해줄 큰 스승한명이 없는 것과 같습니다.

사실 항등원이 같은 특이점은 강조하기 부끄러울만큼이나 가득 있습니다. 그러기에 사실 연산에 대한 어떤 구조든 닫힘성만 보장된다는 전제하에서 가장 먼저 찾는 요소중에 하나가 바로 이 항등원입니다. 적어도 항등원이 있다면 출발점은 확보한 셈이니까요.


9. 되돌리는 힘 - 역원

항등원의 추상적인 역활에 비해 역원의 역활은 비교적 정확합니다.  '역원'이란 큰 스승 항등원으로 되돌려주는 것들 입니다. 역원은 각자에 따라 그 크기가 다릅니다. 만약 내가 어떤 곳을 100m 떨어져 나왔다면 그에 대한 역원이란 내가 태어난 그곳으로 다시 돌아가는 그 거리만큼이 됩니다. 항등원의 상대가 모든 원소인데 반해 역원은 개별적으로 다를 수 밖에 없습니다.

간단한 식으로 적자면 우선 항등원을 e라고 했을 때, 이때 a의 역원이 되려면 다음을 만족는 x입니다
a ○ x = e
          = x ○ e 더 엄격한 설명을 접어 놓겠습니다.

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개별적이고 변동적이긴 하지만 이 역원을 통해서 하나의 원소가 항등원으로 돌아갈 수 있음으로 구조적으로 많은  이점을 얻을 수 있습니다. 특히 어떤 미지의 것에 대한 물음, 특히 수학적으로 이야기하자면 방정식에서의 해답(근)을 찾는 데에 있어서 역원의 활동은 독보적입니다.

이는 많은 생각을 하지 않아도 될 정도입니다. 간단히 예들 들면 제가 동전 5개를 계산하면 내었더니 주머니에 3개가 남았다고 생각하면 우리는 어렵지 않게 5개를 내어준 것의 역을 생각하며 결국 처음에는 8개의 동전이 주머니에 있었다고 생각할 수 있습니다. 어쩜 항등원 보다 역원이 더 중하다고 생각할 수 있습니다.

하지만 역원이 존재하기 위해서의 가장 1번 조건은 항등원의 존재입니다.


10. 구조를 위한 마지막 기둥, '결합성'

닫힘성 위의 두개의 조건만으로도 우리는 아무 멋진 구조를 갖을 수 있다 생각이 들 수 있습니다. 하지만 어떤 곳이든지 존재감은 없지만 없으면 완전 불편한 어떤 것이 있기 마련입니다. 완성된 구조란 것도 마찬가지 입니다. 어쩜 우리가 당연시 사용하는 조건일지도 모르나 잊지말아야 할 것이 하나 있습니다. 바로 결합성이라는 것입니다.

결합성이란 것을 간단히 예를 들어 이야기 하자면 다음과 같습니다. (3+5)+7=3+(5+7) 처럼 덧셈이 있는 상황에서 결합의 순서를 달리한다고 해도 결과에는 영향이 없을 이야기 합니다. 이렇게 된다면 우리는 간단히 3+5+7이라고 쓸수도 있지요.

더 자세한 정의는 접어 놓겠습니다.
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사실 이 것을 보면 '이게 뭐?'란 반응이 나올 수 있습니다. 사실 마음속으로 생각해보면 당연하게 느껴지기도 합니다만 하나 중요한 사실을 기초로한다면 이야기는 달라집니다.

연산이란 본래 함수입니다. 그것도 두개씩 짝지었을 때 하나의 값이 나오는 함수이지요. 간단히 이야기 하면 +이란 연산은 (1,2)란 것을 3으로 대응시키는 것이지요. 그러기에 사실 1+2+3이라는 것은 3개를 한번에 함수로 보내는 것이므로 사실 쓸 수 없습니다. 하지만 위의 구조, 즉 결합성이란 조건이 있다면 이야기는 달라질 수 있습니다. 앞의 두개를 미리계산하거나 뒤의 두개를 미리 계산해도 어짜피 하나의 값이 나오기 때문에 괄호를 생략할 수 있는 것이지요.

어쩜 큰 행동을 하지 않는 조건이지만, 구조속의 연산에게는 자유로움을 선사하는 고마운 존재입니다.



11. 다시 돌아와서 자연수란.

그렇게 세가지의 조건을 만족하게 된다면 수학적으로 큰 의미를 갖는 구조가 됩니다. 단적인 예로 다음이 성립해야지만 '2+x=5'같은 계산도 할 수 있습니다. 그래서 이렇게 중요한 구조는 수학에서는 '군(group)'이라 합니다. 그럼 이제 원론적인 수학 이야기에서 벗어날 때가 되었습니다.

이 아름다운 구조를 완성시키기 위해 자연수로 돌아와 그 자신을 만들어준 창조적인 연산 더하기와 함께 생각해봅시다. 과연 자연수가 이런 구조들을 만족하는 좋은 구조를 갖는 공간인지 시험해보는 것입니다. 이는 우리가 잘 쓰고 있는 수에대해서 평가를 내리는 일이지요.



먼저 자연수는 결합성의 조건을 간단히 만족한다는 것을 알 수 있습니다. 위에서 언급했던 (3+5)+7과 3+(5+7)을 각각 계산하게 되면 성립함을 알 수 있죠. 사실 엄격하게 증명을 하는 것보다 머리속의 직관으로 생각하시는 것이 건강에 더 좋음을 말씀드립니다

다음으로 더하기에서 항등원과 역원을 생각해보겠습니다. 간단히 머리속에서 1+e=1을 그려본다면 성립하는 e는 바로 0이라고 쉽게 계산됩니다만 한가지 문제가 있네요. 바로 자연수에서는 0이 없다는 것입니다. 사실 이는 절망적입니다. 자연수를 만들게 해준 '연산 더하기'는 그 연산의 가장 기본적인 항등원을 내려주지 않았습니다. 역원은 항등원, 즉 돌아갈 원점이 없기 때문에 말할 필요도 없습니다.



생각해보면 자연수는 가장 보편적으로 쓰이는 수의 구조이긴 하나 구조라고 쓰기에도 민망할 정도록 가장 기본적인 더하기에서조차 구조를 만족하지 못하고 있습니다. 이는 자연수만으로 절대 만족하면 않되는 이유이기도 합니다. 따라서 자연수란 곳에 적당한 수를 추가할 필요가 있습니다.

자연수 가장 보편적이지만 더 만족스러운 구조를 위해서 다음이 필요할 것 같습니다.