노군의 수학 중독기

고등학교 국어시간에 배운기억이 나는데
그 시절 뇌파는 쉬는 시간엔 베타파로 일관하고
수업시간 대부분의 델타파로 지나었던 기억이라 정확하게 표현하기 어렵네요.

그래도 이게 생각이 어렴 풋이 생기는데 그것은 "역설."
나의 개념에는 나름 가치있는 개념이였습니다.

사실 수학하면서 마주칠 생각은 없었으나
가끔 살다보면 뜬금없는 인연이 있듯이 수학하며 다시 한번 만나게 합니다.

그 정의는 다음과 같습니다.

예를 들어
아무것도 소유하지 않은 모든 것을 소유한 것이다.
라고 한다면 앞뒤가 모순인데 불구 하고 뜻은 통합니다.

수학의 역설중 가장 많은 사람이 아는 역설이 바로 제논의 역설입니다.

그리스의 엘이아학파의 사람으로 여러 궤변을 늘어놓았는데,
그 중 제논의 역설 - 아킬레스와 거북이 경주로
내용은 이렇습니다.

--------------------제논의 역설---------------------------

아킬레우스(그리스의 신화 영웅이라 보면 된다, 아킬레스건으로 유명)와
거북이가 달리기 경주를 시작합니다.
이때 아킬레우스는 거북이보다 10배 빠릅니다.

그래서 거북이를 10m 앞세우고 뛰기 시작합니다.

아킬레우스가 거북이가 있던 자리를 따라 잡으면
거북이는 1m앞에 있고,
그래서 다시 아킬레우스가 거북이가 있던 자리로 가면
거북이는 0.1m앞서있습니다.
다시 아킬레우스가 거북이가 있던 자리를 따라 잡으면
거북이는 0.01m앞서있게 됩니다.

즉, 둘의 간격은 줄어들 수는 있으나
절대로 아킬레우스는 거북이를 절대로 따라 잡을 수 없습니다.

아킬레우스가 따라오면 작게나마 거북이는 더 앞으로 가게 됩니다.

----------------------- 1차 정리 ----------------------------

누구나 생각으로는 제논의 생각이 틀렸음을 직감합니다.

그런데 왜?라고 말한다면 거기에는 쉽게 대답하기 어렵죠.

우리가 이런 당연한 역설에 빠지는 이유는 뭘까요?
바로 "무한한 과정"에 두려움을 느끼는 것입니다.
단순 계산이지만 이 과정이 무한번 반복된다면 이는 치명적인 어려움에 처합니다.

결정적으로 이 역설을 제대로 이야기 못하는 이유는

이라는 생각이 이런 역설에 빠지는 원인이 됩니다..
또 하나를 찾자면 무한 셈의 마디 하나 하나를 같은 시간으로 오해합니다.

이런 직감이 진실이 아니라는 것은 이미 알고 있으므로

부터 차근차근 역설을 제거해 보겠습니다.

--------------------- 역설의 제거 -----------------------

여기서 문제점이 하나가 고등학교 수학에서 나오는
등비수열의 무한합을 알아야 이게 해결이 가능합니다.
등비수열의 무한합의 개념 자체가 워낙 다른 개념의 기초가 필요하므로 살짝 링크만 걸어놓고 결론만 이야기 하겠습니다.

만약 어떤 수의 배열(수열)이 이렇게 나타날때



즉 처음 하나의 것에 다가 어떤 수를 일정하게 곱해나갈때
이를 "등비수열(같은 비율로 곱해지는 수열)"이라 하고

특히 0<r<1일 경우에는

무한합을 했을 때 다음과 같은 값이 나옵니다.

(그 이유는 다른글로 대신하겠습니다.(링크))



이 것을 다음 역설에 적용하여

아켈레우스의 거북이가 어디까지 아킬레우스보다 앞서 나가는 거리를 천천히 구해보면

처음 10m
그다음 1m
그 다음 0.1m
..
..

이결과를 더해서 위의 형식으로 바꾸어 계산해 보겠습니다.




즉 거북이가 앞서는 경우는 100/9m 결국 11.1111111......의 값으로 12m조차 앞서지 못한다는 결과로 제논의 역설은 제거 됩니다.

------------------------ 2차 정리 ------------------------------

사실 제논이 이 역설을 제기한 이유는 아주 철학적인 이야기를 위한 것이었습니다.
유일한 것으로 변화되지 않는 것을 추구하는(일자) 엘리아 학파의 원리를 위해서
구별이 가능한 운동이나 그 성질을 추구하면(다자) 논리적 모순에 빠진다는 것을 이야기 하기 위한 모델이 바로 제논의 역설입니다.

수학을 통해서 비록 역설은 제거되었지만 아직 그 의미가 제거되지 않는 것,..
이것이 바로 역설의 묘미이죠.

------------------- (새로운 문제)---------------------------------

그럼
문제를 바꿔보겠습니다.

노군과 아킬레우스의 경기입니다.

노군은 아킬레우스 보다 느립니다.

그래서 1m앞서 출발합니다.

그 정도는 다음과 같습니다.

아킬레우스가 처음 노군의 자리까지 오는데 걸리는 시간은 1초

이때 노군이 앞서 있는 자리까지 다시 따라오는데 걸리는 시간은 1/2초

또 이때 노군이 앞서 있는 자리까지 다시 따라오는데 걸리는 시간은 1/3초..

이렇게 42.195km 하면 누가 이길까요?

................아쉽게도 영원히 아킬레우스는 노군을 따라 잡을 수 없습니다.

영원히요.

그 이유는 1+1/2+1/3+...... 의 해를 구해보면 되겠습니다^^.

이제 무한 이야기를 잠시 벗어나서 집합론의 문제들을 더 살펴보겠습니다.

칸토르(칸토어)가 집합론이라는 거대한 작업을 마칠때쯤(어짜피 그 시대에는 큰 인정은 없었지만)
러셀의 편지를 받게 됩니다.
어떤 연구이든 가장 절망스러운 것이 이룩할때 쯔음에 나오는 반론과 역설들입니다.

칸토어 역시 편지 한장에 절망감을 느끼게 됩니다.

그 내용은

사람들은 집합이란 단어를 '모임'으로 생각하기 때문에
"모든 집합들을 모아 놓은 집합"도 자연스레 상상하게 됩니다.
자연스러운 이 단어가  왜 문제가 되는 것일까요.

그 문제는

다음 이야기에서 나타납니다.

-------------------------이발사의 역리(러셀의 역리)------------------------

세빌리아(지명이름)의 이발사는 자신의 상점 입구에 이렇게 크게 써 놓았습니다.

멋진 한마디입니다.

즉, 나는 스스로 면도하지 않는 사람을 면도하겠다는 설명입니다.

그런데 문제는 세빌리아의 다른 사람들이 아닌 자기 자신입니다.

이발사 스스로의  면도는 누가 해야 할까요?

먼저 자기 자신이 면도를 한다면 스스로 면도하는 사람이므로

팻말에 적혀있는 스스로 면도하지 않는 사람에 포함될 수 없습니다.

그러므로 이발사는 자신을 면도할 수 없습니다.

또한 다른 사람이 자신을 면도 한다면 이발사 자신은
팻말에 적혀있는 스스로 면도하지 않는 사람입니다.
따라서 스스로 면도를 해야 합니다.

----------------------------------------------------------------------------------------

말의 의도는
세릴리아의 스스로 면도하지 않는 사람을 면도 하는 사람
이란 자신의 처지가 자신에게 속하는가 속하지 않는가 입니다.
자신자체가 들어가야 할 곳이 어디인가라는 것입니다.

러셀은 이런 역리를 구체화한 집합과 질문을 던진다

이 집합에는 자기 자신이 포함될수도 포함되지 않을 수도 없는 일이 벌어집니다.

전형적인 모순입니다.

이발사의 역리로 시작한 이 질문은 집합론계의 아주 큰 파장을 불러일으켰습니다.
참고로 이와 같은 의미의 유명한 역설인 에우블리데스의 명제"내가 지금 말하는 명제는 거짓이다"
그리고 크레타섬의 거짓말쟁이의 역설"이섬의 사람들은 다 거짓말 쟁이다"와 일치합니다.

당시 집합론을 이야기 하는 수학자의 기본적인 믿음에 대못을 박은 이 논쟁은
결국에는 <모든 집합의 집합>이 존재하지 않음으로 결론을 냅니다.
그리고 이 논쟁을 통해서 소위 논리주의, 직관주의, 형식주의의 이 세가지의 사조가 나타나면서

급 혼란기를 맞이합니다.(자세한 것은 심화 메뉴를 통해서 알아보도록 하겠습니다.)

------------------------- 결  언 ------------------------------

우리가 어떤 것을 감각적으로 이해하고 의견을 수렴하는 일은
자신도 모르는 기초 사고에 지배당하게 됩니다.

집합론도 마찬가지입니다.
우리가 쉽게 이해할 수 있는 집합론이지만
웃으며 지나가기에는 많은 역설과 모순이 난무하게 됩니다.

<러셀의 역리>라는 홍역을 치룬 집합론은
제대로된 공리계를 세워 집합론을 방어해 나가야 할 필요성이 생겼고
대학수준의 이야기이지만
현제는 ZFC공리계라고 부르는
체르멜로-프란켈 집합론이라 하여 몇 가지 공리를 기반으로 한 집합론을 세웠습니다.

- 추가 적인 집합론의 역설 -
리차디언의 역설
부랄리-포르티 역설

---------------------------------------------------------------------------------

집합론이란 것으로 무한에 하나의 깃발을 세웠고
또한 집합론을 통해 많은 수학들이 피어나게 되었습니다.

많은 역리와 반발 속에서 꽃피우게된 집합론은
전공수학의 맨 처음을 장식하게되는 영광까지도 얻었죠.

불완전하고 감각적인 수학의 뿌리이지만(괴델의 불완전성의 원리)

집합론은 그 불완전속의 구조적이고 합리적인 사고로 부터 우리는 완벽함을 추구하고자 합니다.

불안함속의 완고한 한마디로 이 장을 마치겠습니다.