노군의 수학 중독기

이전 글에서는 자연수에서 정수로의 확장이 단순히 음수와 0의 추가가 아니라  <하나의 집합, 하나의 연산>의 쌍을 의미있는 구조(군, group)으로 만들기 위해서 필연적으로 확장을 하게 된 것을 이야기 했습니다. 즉, '자연수'에서 가장 기초적인 연산인 '더하기'를 더 의미있게 활용하기 위해서 자연수에 음수와 0을 더해 '더하기'에서 완벽한 집합을 만들었는데 그 집합이 바로 '정수'입니다.

다시 말하면 정수는 '더하기'에서 완벽한 구조를 이룬 것입니다. 사실 여기에서도 충분한 만족을 얻을 수도 있습니다. 하지만 우리가 쓰는 사칙 연산에서 우리가 완성한 것은 '덧셈과 덧셈의 역 연산인 뺄셈' 정도 입니다. 따라서 우리는 곱셈과 나눗셈에 대해서 더 알아가고 확장할 필요가 있습니다.

즉 이제 부터 주인공은 '더하기'에서 '곱하기'로 넘어갈 시점인 것입니다.

 
16. 연산 '곱하기'란 무엇인가 - 곱하기(곱셈)

우리가 연산 곱하기에 대한 기억은 대부분 동일하게 느껴질 것 입니다. 어린 시절에 부모와 아이의 첫번째 벽이 되기도 하는 '구구단'입니다. 구구단을 달달 외우면서 곱셈을 하나의 문자표처럼 외우면서 머리속에 '삽입'하게 되고 심지어는 그 삽입에 대한 확인을 이용한 '놀이', 구구단 게임을 통해서 상대방을 무안하게 하거나 집단의 즐거움으로 이용하기도 합니다. 물론 구구단을 통한 곱셈의 '삽입'은 복잡한 계산으로 난무한 세상을 살아가는데 필수 조건이긴 합니다만 이미 암산의 대상이 되어버렸죠.

잘 생각해보면 우리 일상에서 느껴온 곱셈은 구구단을 넘기가 힘듭니다. 또한 곱하기는 그 정의를 도입할 때 단지 '더하기의 축약판'이라는 점으로 처음에 적용하였습니다. 다시 말씀드리자면 2 X 3에 대한 평가를 어떻게 정의합니까? 대부분의 사람은 2를 3번 더한다고 어렵지 않게 이야기 할 수 있습니다.

이처럼 곱셈은 쉽게 더하기를 반복계산으로 정의한다고 볼 수 있습니다. 하지만 이것만으로 곱셈이 그 자체로써 연산의 위상을 얻을 수 없습니다. 더 복잡하기만 할 뿐 그저 외우는 '삽입'대상으로 느껴질 뿐입니다. 하지만 이제는 곱셈이 하나의 유연한 연산으로의 도약을 꿈꿀 수 있습니다. 아니 그 도약이 수의 구조상 아주 중요합니다.

그러기에 이 정수라는 더하기에 대한 완성을 이룬 구조에 곱셈을 다시한번 상기시키고자 합니다. 먼저 곱하기에 대한 정의가 더하기의 반복계산이란 것에서 조금 벗어날 필요가 있습니다. 물론 덧셈의 경우에서 처럼 이 과정을 상당히 복잡한 과정이고 그 과정이 불필요합니만 정확한 정의를 페아노 공리측면으로 아래에 조금만 접어 놓겠습니다. (정신 건강상 보지 않으셔도 좋습니다.)


페아노 공리의 곱셈의 정의


17.  연산 '곱하기'의 결합성

      
이 모든 정의에 간단히 넘어가더라도 무엇보다 중요한 사실 하나는 곱하기가 더하기를 이용한 정의를 갖지만 보조 연산으로 남는 것이 아니라 하나의 연산으로 개별적으로 정의된다는 것입니다. 이제는 더하기 뿐만 아니라 곱하기도 하나의 당당한 연산으로 서게 되는 것입니다.

하지만 몇가지 연산으로써 의미가 있는지에 대한 검증이 필요합니다. 그중에서 가장 먼저 시행해 볼 요인은 바로 곱하기가 결합법칙을 성립하는 것인지에 대한 것입니다. 결합법칙에 대해서 이 전에 짧게 그  중요성을 이야기 한 적이 있어 자세한 설명은 링크(링크)로 대신합니다.(결합법칙에 대한 링크 / 구조에 대한 링크)

하지만 간략히 설명하면 결합법칙이란 것은 임의의 정수 A, B, C를 고를 때 곱하기에 대해 AX(BXC)=(AXB)XC 가 성립되는 것입니다. 사실 이 성질이 성립함을 보이는 것은 페아노의 공리를 통하면 약간의 인내가 필요하지만 어렵지는 않게 증명할 수 있습니다. 또한 직관적으로도 금방 이 성질이 곱하기에서 문제 없음을 알 수 있죠.

결합이 가능하다는 것은 집합위에서 자유로운 연산이라는 것입니다.

이에 연산으로 곱하기는 당당히 이름을 올릴 수 있습니다만, 이것으로 확실한 독립을 보장할 수 없습니다. 사실 연산을 만드는 일은 상당히 쉽습니다. 규칙이란 것이 만들기만 하면 되는 것입니다. 하지만 곱하기가 가장 기본 연산인 +와 함께 중요한 하나의 연산으로 대우 받는 이유는 무엇일까요?


18. 곱하기를 중요하게 하는 요인 - 분배법칙 (배분법칙)

수많은 연산중에서 곱하기를 주목하는 이유는 무엇일 까요?  단지 그냥 더하기의 반복 계산을 쉽게 계산하기 위한 하나의 구조일 뿐일까요? 이 답을 하기 위해서는 또 하나의 구조를 단단히 하는 방법을 언급할 필요가 있습니다. 이전에 설명했던 군(group)과 마찬가지로 복잡한 구조적인 조건을 제시해야 합니다.

그 중하나가 바로 위에서 제시했던 결합법칙입니다. 그리고 곱하기를 특별하게 만들어주는 요인은 바로 '분배법칙(배분법칙)' 입니다. 아마 대부분 수학책에서 한번쯤은 배운 내용이고 또한 열심히 배운 분이라면 '이게 뭐 대단한 것이지?'란 생각을 하실 것입니다. 하지만 단지 수능에 나오지 않을 뿐이지 분배의 법칙또한 상당히 중요한 것입니다.

우선 분배법칙의 정의는 다음과 같습니다.


하지만 이 관계가 갖는 구조적인 중요성에 대한 언급은 글의 길이 관계상 다음글로 미루겠습니다. 하지만 곱하기에 대해서 결론부터 이야기 하자면 곱하기는 더하기와 아무 밀접한 관계(분배법칙)을 갖으면 그 스스로도 하나의 연산으로 온전히 설 수 있는 힘(결합법칙)이 있는 중요한 연산이란 것입니다. 이제 곱하기를 중심으로 수 체계가 재정립됩니다.

이제 진정한 곱하기의 역습이 되겠습니다.

이제 더하기과 곱하기는 동등한 입장에서 구조를 완성합니다.

'수'는 일상에서의 필요에서 나왔습니다. 특히 어떤 것의 개수를 확인해야 할 필요에서 탄생했다는 것이 가장 논리적으로 맞습니다. 간단한 예를 들자면 자신이 기르는 양의 수를 확인하기 위해 작을 돌멩이들을 이용할 수 있습니다. 이것은 어떤 대상에 대해서 일정한 대체물을 이용하는 것으로 '수'의 가장 기초가 되는 행동으로 볼 수 있는데, 이 활동은 일대일 대응이라는 함수적인 활동입니다.


4. 자연수, 큰 수를 발견하다.

양 두 마리가 돌 두 개 그리고 손가락 두 개 등 함수적인 대응들이 갖는 대표성을 찾는 것이다. 그리고 이 모든 대응의 공통점에 대해서 일률적으로 표현하기 위한 구조를 탄생시키는 데 그것이 바로 '수'입니다. 그리고 그게 더 정돈된 것이 바로 "2"입니다. 개수에 따라 대표되는 상징을 나름의 규칙에 따라 정하게 되고, 그에 대한 표현은 1, 2, 3, .... 이나 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, ...... 등 주변인들과의 약속으로 결정하여 쓰게 됩니다.

'자연수'의 탄생입니다.



이 상징적인 체계가 갖는 의미는 상당합니다. 드디어 '큰 수'를 다룰 수 있게 된 것입니다. 동물도 사람과 마찬가지로 수를 알고 있습니다. 하지만 그 수의 범위는 상당히 작습니다.^[각주:1] 사람의 개수에 대한 인지 또한 크게 다르지 않습니다. 직관적인 수에 대한 관념은 평균 20정도뿐인 것입니다. 대응을 통해서 더 큰 수를 셈하긴 했지만 그를 위해서는 더 많은 돌 더 많은 시간이 필요한 것입니다. 하지만 자연수를 이용한 셈은 그다지 큰 댓가를 바라지 않습니다.

지금은 어떻습니까? 학교에서 자신의 순번을 몇 개의 숫자, 학년과 반 그리고 반안에서의 번호로 총 4개의 수를 통해서 자신을 찾아낼 수 있습니다. 또한 자신의 휴대폰 전화번호에 우리가 부여하는 숫자는 010 - XXXX - XXXX 으로 총 11자리 숫자입니다. 이 얼마나 놀라운 일입니까? 우리가 상대방에게 전화하기 위해서 적어도 10000000000개의 돌멩이를 사용할 필요가 없다는 뜻입니다.




5. 가장 자연스럽고 강한 <연산, 더하기>

우리가 큰 수를 사용한다는 것은 더 많은 것을 추구할 수 있음을 야기합니다. 사실 실생활에서 그렇게 큰 수를 사용할 필요성은 없으나 이미 개념이 생겨버린 수의 체계는 그 자체에서 더 큰 의미를 찾아낼 수 있습니다.  바로 연산 입니다. 연산이란 것은 간단히 설명하자면 '한 쌍의 수'가 갖을 수 있는 '잘 정의'되어 있는 규칙입니다.^[각주:2] 꼭 의미가 있을 필요가 없다는 뜻이지요. 규칙만 맞으면 그게 바로 연산입니다.

하지만 의미 없는 시작이 있기에는 사람이란 것은 너무나 감성적이지요. 첫 번째 의미를 갖는 연산은 바로 '더하기, +' 입니다. 이 또한 어떤 실험이나 합의를 통해 얻어졌다가 보다는 본능적으로 시작되었을 것입니다. 하지만 이 규칙은 너무나도 쓸모 있고 가장 흔히 쓰이는 '연산'이 되었죠. 인간의 가장 기본적인 가족이란 개념으로 부터 시작해서 생산, 전쟁, 합의 등 더하기에 대해서 설명할 필요는 없을 것 같습니다. 컴퓨터를 켜고 인터넷에서 우연히 이 곳까지 오는 길에 비해서는 더하기란 너무 쉬운 과정이기 때문입니다. 하지만 '연산'이란 과정으로 보자면 좀 더 알아볼 구석이 많습니다.



자연수는 '더하기'는 기초로 합니다. 어쩌면 근간 그 자체입니다. 수학적 정의로 자연수란 '1'이란 수에 '1'을  더한 것을 '2', 또 '2'란 수에 '1'을 더한 것을 '3'이라고 정의한 것뿐이기 때문입니다. 그러므로 자연수에 대한 더 깊은 구성과정에서 '더하기'가 빠질 수 없습니다. 다시 말하자면 더하기를 통해 자연수는 더 많은 쓰임을 얻게 되었다고 해도 되겠습니다.

더하기에 대한 연산을 (조금 어렵게) 써보면 다음과 같습니다. 일단 정신적 건강을 위해서 접기로 합니다.(굳이 보지 않으셔도 좋습니다.)

더보기

결론적으로 <연산, 더하기>를 장착한 자연수는 구조적으로 더 강해졌습니다.




6. 더하기의 아류 <연산, 곱하기>

자연수의 다음 친구는 연산, 곱하기 입니다. 자연수에서의 곱하기는 사실상 더하기의 아류입니다. 더하기의 반복을 축약해주는 것으로 컴퓨터로 보자면 간단히 단축키와 같은 역할이죠. 구구단으로 고생했던 기억이 있으신 분들은 의아할 것 입니다. 그렇게 수학에서 중요하게 여긴 구구단이 그냥 단축키를 익히기 위한 것이라니 말입니다.

하지만 그것은 사실입니다. 적어도 자연수에서는 말입니다. 힘이 빠지는 일이겠지만 더하기의 셔틀 연산, 곱하기는 무도 박명수 처럼 쭈구리이며 2인자라고 할 수 있습니다. 하지만 그가 갖는 강한 편리성은  놓칠 수 없죠. 또한 이 곱셈이 덧셈을 기초로 했기 때문에 자연수라는 기초적인 체계에서 안전하게 계산되며 큰 수의 사용이라는 장점을 더욱더 극대화 시켜줍니다.



이로써 자연수는 더하기와 곱하기라는 두 가지 연산을 구조로 같으면서 자신의 체계를 굳혀갑니다. 사실 이로써도 삶에서 크게 불편함을 못 느끼며 살 수 있습니다. 하지만 불만 있는 한 존재가 있겠죠. 곱하기 입니다. 하지만 이 곱하기의 반전은 잠시동안은 접어두도록 하겠습니다



7. 구조를 만드는 힘 : <성질, 닫힘성(closed)>

아이폰과 아이패드 그리고 맥 등 모바일 및 IT분야에서 지지 않는 태양이 되고 있는 애플의 가장 큰 장점 및 가장 큰 단점이 무엇이라 생각되십니까? 아마도 이 둘은 같은 단어 하나로 채워질 수 있습니다. 바로 '닫힘성'입니다. 아이튠즈라는 허브를 통해서 애플의 모든 것들이 소통하지만 그 소통은 애플에 한하게 됩니다. 이는 안정적인 체계구축이라는 장점을 부여하지만 너무 닫혀있다는 단점도 됩니다. 하지만 구조적으로 보았을 때는 개방체제보다 더 안정적으로 구축되는 '구조'임은 틀림없습니다.

애플이 폐쇄적이면서도 사람들을 더 열광시키는 것은 닫혀있지만 '강한 구조' 때문입니다.



preview 에서 강조했다시피 '수'란 것에서 결국 '구조'를 찾아보는 것이 진정한 '수'를 찾는 일입니다. 자연수에서도 마찬가지 입니다. 자연수란 수를 일상에서 얻었지만 이보다 더 중요한 것은 이 자연수에서 "어떤 구조가 이 체계를 지탱해 주는가?"를 따져봐야 합니다. 그것을 알기 위해서는 먼저 언급했던 <연산, 더하기>와 <연산, 곱하기>에서 찾을 수 있습니다.

더하기와 곱하기를 시행하는데 있어서 자연수란 공간이 전혀 문제가 없었던 것은 이 두 연산이 자연수 안에서 온전히 존재하기 때문입니다. 다시 말하자면 자연수란 공간에 더하기와 곱하기가 잘 담긴다는 말입니다. 이런 구조를 수학에서는 '닫힘성(closed)'이라 합니다. 이는 간단히 말하자면 연산을 아무래 해도 그 공간을 벗어나지 못함을 이야기합니다.



자연수끼리 덧셈을 아무리해도 곱셈을 아무리 계산에 시간이 걸릴 뿐이지 이 계산의 결과가 자연수를 벗어나지 못합니다. 이런 것이 바로 자연수를 더 완벽하게 합니다. 이 구조가 실재로 중요한지에 대해서는 크게 강조하지 않겠습니다. 간단히 설명됩니다.

조직에서 '반역자'를 좋아하는 규정은 없습니다.

이는 수학도 마찬가지입니다. 하지만 수학에서 반역이 없어야 하는 것은 절대 아닙니다. 어떤 구조든 불완전한 요소에 대해서 반항하는 것이 그 조직의 완전함을 추구하는데 있어 더없이 중요한 요소입니다. 그것을 어떻게 채우느냐가 중요한 명제입니다. 본래의 구조만을 맹신하는 것은 발전이 없을 뿐입니다.

그래서 먼저 좀 더 완벽한 구조란 무엇인지 살펴본 다음, 이 자연수에 반역해 보겠습니다.