노군의 수학 중독기

이전 글을 통해서 더하기와 곱하기를 통해서 자연수란 공간을 만들어보았습니다. 이는 자연수란 구조가 그저 자연스럽게 쓰인다라는 쓰임이나 목적에서 벗어나 하나의 당위성 혹은 하나의 구조적 기초를 말하는 것과 같습니다. 특히 자연수는 곱하기보다는 더하기로 생성된 공간입니다. 그러기에 자연수란 공간은 더하기라는 수학적 구조의 완성에 욕심이 많을 수 밖에 없습니다.

하지만 이에 앞서 그럼 수학적 구조가 완성된다는 것에 집중하고 싶습니다. 과연 어떻게 해야 수학적으로 하나의 연산이 구조적으로 완성될 수 있을 까요? 가장 기초는 preview에서 언급한 닫힘성입니다. 어떤 구조든 그 안에서 해결되지 않는 연산을 받아들일 수 없기 때문입니다. 그러기에 먼저 닫혀있어야 합니다. 그 다음을 이을 중요한 세가지가 있습니다. 카메라를 받혀주는 든든한 삼각대 처럼 말입니다.




8. 큰 스승 - 항등원

두 가지 중에서 먼저 언급할 것은 '항등원'입니다. 고등학교에서 한번쯤 들어왔을 단어입니다만 조금 우화시켜보자면,  연산이라는 것을 아무리 시행해도 전혀 '쓸모 없는' 원소입니다. 사실 전혀 쓸모 없는 연산이지만 그것은 연산에서의 일이고 실재적으론 구조상 가장 중요한 구심점이며 주인공이라 할 수 있습니다. 그럼 그 쓸모 없다는 것을 하나의 식으로 표현하면 다음과 같습니다.

항등원이 만약 e라고 한다하면
a ○ e = a
          = e ○ a 입니다. 조건에 대해서 더 자세하게는 아래에 적겠습니다만 중요하진 않습니다.

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정확하게 말하자면 어떠한 원소를 상대(연산)하더라도 그 자신의 값을 돌려주는 것이죠. 그래서 항등원을 비유하자면 균형의 추 같은 역활입니다. 한 평생 조용히 한자리를 지키는 수도승과 같은 이미지 처럼 흔들림이 없는 값입니다. 그러기에 만약 한 구조와 연산에 항등원이 없다면 마치 모두를 지지해줄 큰 스승한명이 없는 것과 같습니다.

사실 항등원이 같은 특이점은 강조하기 부끄러울만큼이나 가득 있습니다. 그러기에 사실 연산에 대한 어떤 구조든 닫힘성만 보장된다는 전제하에서 가장 먼저 찾는 요소중에 하나가 바로 이 항등원입니다. 적어도 항등원이 있다면 출발점은 확보한 셈이니까요.


9. 되돌리는 힘 - 역원

항등원의 추상적인 역활에 비해 역원의 역활은 비교적 정확합니다.  '역원'이란 큰 스승 항등원으로 되돌려주는 것들 입니다. 역원은 각자에 따라 그 크기가 다릅니다. 만약 내가 어떤 곳을 100m 떨어져 나왔다면 그에 대한 역원이란 내가 태어난 그곳으로 다시 돌아가는 그 거리만큼이 됩니다. 항등원의 상대가 모든 원소인데 반해 역원은 개별적으로 다를 수 밖에 없습니다.

간단한 식으로 적자면 우선 항등원을 e라고 했을 때, 이때 a의 역원이 되려면 다음을 만족는 x입니다
a ○ x = e
          = x ○ e 더 엄격한 설명을 접어 놓겠습니다.

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개별적이고 변동적이긴 하지만 이 역원을 통해서 하나의 원소가 항등원으로 돌아갈 수 있음으로 구조적으로 많은  이점을 얻을 수 있습니다. 특히 어떤 미지의 것에 대한 물음, 특히 수학적으로 이야기하자면 방정식에서의 해답(근)을 찾는 데에 있어서 역원의 활동은 독보적입니다.

이는 많은 생각을 하지 않아도 될 정도입니다. 간단히 예들 들면 제가 동전 5개를 계산하면 내었더니 주머니에 3개가 남았다고 생각하면 우리는 어렵지 않게 5개를 내어준 것의 역을 생각하며 결국 처음에는 8개의 동전이 주머니에 있었다고 생각할 수 있습니다. 어쩜 항등원 보다 역원이 더 중하다고 생각할 수 있습니다.

하지만 역원이 존재하기 위해서의 가장 1번 조건은 항등원의 존재입니다.


10. 구조를 위한 마지막 기둥, '결합성'

닫힘성 위의 두개의 조건만으로도 우리는 아무 멋진 구조를 갖을 수 있다 생각이 들 수 있습니다. 하지만 어떤 곳이든지 존재감은 없지만 없으면 완전 불편한 어떤 것이 있기 마련입니다. 완성된 구조란 것도 마찬가지 입니다. 어쩜 우리가 당연시 사용하는 조건일지도 모르나 잊지말아야 할 것이 하나 있습니다. 바로 결합성이라는 것입니다.

결합성이란 것을 간단히 예를 들어 이야기 하자면 다음과 같습니다. (3+5)+7=3+(5+7) 처럼 덧셈이 있는 상황에서 결합의 순서를 달리한다고 해도 결과에는 영향이 없을 이야기 합니다. 이렇게 된다면 우리는 간단히 3+5+7이라고 쓸수도 있지요.

더 자세한 정의는 접어 놓겠습니다.
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사실 이 것을 보면 '이게 뭐?'란 반응이 나올 수 있습니다. 사실 마음속으로 생각해보면 당연하게 느껴지기도 합니다만 하나 중요한 사실을 기초로한다면 이야기는 달라집니다.

연산이란 본래 함수입니다. 그것도 두개씩 짝지었을 때 하나의 값이 나오는 함수이지요. 간단히 이야기 하면 +이란 연산은 (1,2)란 것을 3으로 대응시키는 것이지요. 그러기에 사실 1+2+3이라는 것은 3개를 한번에 함수로 보내는 것이므로 사실 쓸 수 없습니다. 하지만 위의 구조, 즉 결합성이란 조건이 있다면 이야기는 달라질 수 있습니다. 앞의 두개를 미리계산하거나 뒤의 두개를 미리 계산해도 어짜피 하나의 값이 나오기 때문에 괄호를 생략할 수 있는 것이지요.

어쩜 큰 행동을 하지 않는 조건이지만, 구조속의 연산에게는 자유로움을 선사하는 고마운 존재입니다.



11. 다시 돌아와서 자연수란.

그렇게 세가지의 조건을 만족하게 된다면 수학적으로 큰 의미를 갖는 구조가 됩니다. 단적인 예로 다음이 성립해야지만 '2+x=5'같은 계산도 할 수 있습니다. 그래서 이렇게 중요한 구조는 수학에서는 '군(group)'이라 합니다. 그럼 이제 원론적인 수학 이야기에서 벗어날 때가 되었습니다.

이 아름다운 구조를 완성시키기 위해 자연수로 돌아와 그 자신을 만들어준 창조적인 연산 더하기와 함께 생각해봅시다. 과연 자연수가 이런 구조들을 만족하는 좋은 구조를 갖는 공간인지 시험해보는 것입니다. 이는 우리가 잘 쓰고 있는 수에대해서 평가를 내리는 일이지요.



먼저 자연수는 결합성의 조건을 간단히 만족한다는 것을 알 수 있습니다. 위에서 언급했던 (3+5)+7과 3+(5+7)을 각각 계산하게 되면 성립함을 알 수 있죠. 사실 엄격하게 증명을 하는 것보다 머리속의 직관으로 생각하시는 것이 건강에 더 좋음을 말씀드립니다

다음으로 더하기에서 항등원과 역원을 생각해보겠습니다. 간단히 머리속에서 1+e=1을 그려본다면 성립하는 e는 바로 0이라고 쉽게 계산됩니다만 한가지 문제가 있네요. 바로 자연수에서는 0이 없다는 것입니다. 사실 이는 절망적입니다. 자연수를 만들게 해준 '연산 더하기'는 그 연산의 가장 기본적인 항등원을 내려주지 않았습니다. 역원은 항등원, 즉 돌아갈 원점이 없기 때문에 말할 필요도 없습니다.



생각해보면 자연수는 가장 보편적으로 쓰이는 수의 구조이긴 하나 구조라고 쓰기에도 민망할 정도록 가장 기본적인 더하기에서조차 구조를 만족하지 못하고 있습니다. 이는 자연수만으로 절대 만족하면 않되는 이유이기도 합니다. 따라서 자연수란 곳에 적당한 수를 추가할 필요가 있습니다.

자연수 가장 보편적이지만 더 만족스러운 구조를 위해서 다음이 필요할 것 같습니다.

'수'는 일상에서의 필요에서 나왔습니다. 특히 어떤 것의 개수를 확인해야 할 필요에서 탄생했다는 것이 가장 논리적으로 맞습니다. 간단한 예를 들자면 자신이 기르는 양의 수를 확인하기 위해 작을 돌멩이들을 이용할 수 있습니다. 이것은 어떤 대상에 대해서 일정한 대체물을 이용하는 것으로 '수'의 가장 기초가 되는 행동으로 볼 수 있는데, 이 활동은 일대일 대응이라는 함수적인 활동입니다.


4. 자연수, 큰 수를 발견하다.

양 두 마리가 돌 두 개 그리고 손가락 두 개 등 함수적인 대응들이 갖는 대표성을 찾는 것이다. 그리고 이 모든 대응의 공통점에 대해서 일률적으로 표현하기 위한 구조를 탄생시키는 데 그것이 바로 '수'입니다. 그리고 그게 더 정돈된 것이 바로 "2"입니다. 개수에 따라 대표되는 상징을 나름의 규칙에 따라 정하게 되고, 그에 대한 표현은 1, 2, 3, .... 이나 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, ...... 등 주변인들과의 약속으로 결정하여 쓰게 됩니다.

'자연수'의 탄생입니다.



이 상징적인 체계가 갖는 의미는 상당합니다. 드디어 '큰 수'를 다룰 수 있게 된 것입니다. 동물도 사람과 마찬가지로 수를 알고 있습니다. 하지만 그 수의 범위는 상당히 작습니다.^[각주:1] 사람의 개수에 대한 인지 또한 크게 다르지 않습니다. 직관적인 수에 대한 관념은 평균 20정도뿐인 것입니다. 대응을 통해서 더 큰 수를 셈하긴 했지만 그를 위해서는 더 많은 돌 더 많은 시간이 필요한 것입니다. 하지만 자연수를 이용한 셈은 그다지 큰 댓가를 바라지 않습니다.

지금은 어떻습니까? 학교에서 자신의 순번을 몇 개의 숫자, 학년과 반 그리고 반안에서의 번호로 총 4개의 수를 통해서 자신을 찾아낼 수 있습니다. 또한 자신의 휴대폰 전화번호에 우리가 부여하는 숫자는 010 - XXXX - XXXX 으로 총 11자리 숫자입니다. 이 얼마나 놀라운 일입니까? 우리가 상대방에게 전화하기 위해서 적어도 10000000000개의 돌멩이를 사용할 필요가 없다는 뜻입니다.




5. 가장 자연스럽고 강한 <연산, 더하기>

우리가 큰 수를 사용한다는 것은 더 많은 것을 추구할 수 있음을 야기합니다. 사실 실생활에서 그렇게 큰 수를 사용할 필요성은 없으나 이미 개념이 생겨버린 수의 체계는 그 자체에서 더 큰 의미를 찾아낼 수 있습니다.  바로 연산 입니다. 연산이란 것은 간단히 설명하자면 '한 쌍의 수'가 갖을 수 있는 '잘 정의'되어 있는 규칙입니다.^[각주:2] 꼭 의미가 있을 필요가 없다는 뜻이지요. 규칙만 맞으면 그게 바로 연산입니다.

하지만 의미 없는 시작이 있기에는 사람이란 것은 너무나 감성적이지요. 첫 번째 의미를 갖는 연산은 바로 '더하기, +' 입니다. 이 또한 어떤 실험이나 합의를 통해 얻어졌다가 보다는 본능적으로 시작되었을 것입니다. 하지만 이 규칙은 너무나도 쓸모 있고 가장 흔히 쓰이는 '연산'이 되었죠. 인간의 가장 기본적인 가족이란 개념으로 부터 시작해서 생산, 전쟁, 합의 등 더하기에 대해서 설명할 필요는 없을 것 같습니다. 컴퓨터를 켜고 인터넷에서 우연히 이 곳까지 오는 길에 비해서는 더하기란 너무 쉬운 과정이기 때문입니다. 하지만 '연산'이란 과정으로 보자면 좀 더 알아볼 구석이 많습니다.



자연수는 '더하기'는 기초로 합니다. 어쩌면 근간 그 자체입니다. 수학적 정의로 자연수란 '1'이란 수에 '1'을  더한 것을 '2', 또 '2'란 수에 '1'을 더한 것을 '3'이라고 정의한 것뿐이기 때문입니다. 그러므로 자연수에 대한 더 깊은 구성과정에서 '더하기'가 빠질 수 없습니다. 다시 말하자면 더하기를 통해 자연수는 더 많은 쓰임을 얻게 되었다고 해도 되겠습니다.

더하기에 대한 연산을 (조금 어렵게) 써보면 다음과 같습니다. 일단 정신적 건강을 위해서 접기로 합니다.(굳이 보지 않으셔도 좋습니다.)

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결론적으로 <연산, 더하기>를 장착한 자연수는 구조적으로 더 강해졌습니다.




6. 더하기의 아류 <연산, 곱하기>

자연수의 다음 친구는 연산, 곱하기 입니다. 자연수에서의 곱하기는 사실상 더하기의 아류입니다. 더하기의 반복을 축약해주는 것으로 컴퓨터로 보자면 간단히 단축키와 같은 역할이죠. 구구단으로 고생했던 기억이 있으신 분들은 의아할 것 입니다. 그렇게 수학에서 중요하게 여긴 구구단이 그냥 단축키를 익히기 위한 것이라니 말입니다.

하지만 그것은 사실입니다. 적어도 자연수에서는 말입니다. 힘이 빠지는 일이겠지만 더하기의 셔틀 연산, 곱하기는 무도 박명수 처럼 쭈구리이며 2인자라고 할 수 있습니다. 하지만 그가 갖는 강한 편리성은  놓칠 수 없죠. 또한 이 곱셈이 덧셈을 기초로 했기 때문에 자연수라는 기초적인 체계에서 안전하게 계산되며 큰 수의 사용이라는 장점을 더욱더 극대화 시켜줍니다.



이로써 자연수는 더하기와 곱하기라는 두 가지 연산을 구조로 같으면서 자신의 체계를 굳혀갑니다. 사실 이로써도 삶에서 크게 불편함을 못 느끼며 살 수 있습니다. 하지만 불만 있는 한 존재가 있겠죠. 곱하기 입니다. 하지만 이 곱하기의 반전은 잠시동안은 접어두도록 하겠습니다



7. 구조를 만드는 힘 : <성질, 닫힘성(closed)>

아이폰과 아이패드 그리고 맥 등 모바일 및 IT분야에서 지지 않는 태양이 되고 있는 애플의 가장 큰 장점 및 가장 큰 단점이 무엇이라 생각되십니까? 아마도 이 둘은 같은 단어 하나로 채워질 수 있습니다. 바로 '닫힘성'입니다. 아이튠즈라는 허브를 통해서 애플의 모든 것들이 소통하지만 그 소통은 애플에 한하게 됩니다. 이는 안정적인 체계구축이라는 장점을 부여하지만 너무 닫혀있다는 단점도 됩니다. 하지만 구조적으로 보았을 때는 개방체제보다 더 안정적으로 구축되는 '구조'임은 틀림없습니다.

애플이 폐쇄적이면서도 사람들을 더 열광시키는 것은 닫혀있지만 '강한 구조' 때문입니다.



preview 에서 강조했다시피 '수'란 것에서 결국 '구조'를 찾아보는 것이 진정한 '수'를 찾는 일입니다. 자연수에서도 마찬가지 입니다. 자연수란 수를 일상에서 얻었지만 이보다 더 중요한 것은 이 자연수에서 "어떤 구조가 이 체계를 지탱해 주는가?"를 따져봐야 합니다. 그것을 알기 위해서는 먼저 언급했던 <연산, 더하기>와 <연산, 곱하기>에서 찾을 수 있습니다.

더하기와 곱하기를 시행하는데 있어서 자연수란 공간이 전혀 문제가 없었던 것은 이 두 연산이 자연수 안에서 온전히 존재하기 때문입니다. 다시 말하자면 자연수란 공간에 더하기와 곱하기가 잘 담긴다는 말입니다. 이런 구조를 수학에서는 '닫힘성(closed)'이라 합니다. 이는 간단히 말하자면 연산을 아무래 해도 그 공간을 벗어나지 못함을 이야기합니다.



자연수끼리 덧셈을 아무리해도 곱셈을 아무리 계산에 시간이 걸릴 뿐이지 이 계산의 결과가 자연수를 벗어나지 못합니다. 이런 것이 바로 자연수를 더 완벽하게 합니다. 이 구조가 실재로 중요한지에 대해서는 크게 강조하지 않겠습니다. 간단히 설명됩니다.

조직에서 '반역자'를 좋아하는 규정은 없습니다.

이는 수학도 마찬가지입니다. 하지만 수학에서 반역이 없어야 하는 것은 절대 아닙니다. 어떤 구조든 불완전한 요소에 대해서 반항하는 것이 그 조직의 완전함을 추구하는데 있어 더없이 중요한 요소입니다. 그것을 어떻게 채우느냐가 중요한 명제입니다. 본래의 구조만을 맹신하는 것은 발전이 없을 뿐입니다.

그래서 먼저 좀 더 완벽한 구조란 무엇인지 살펴본 다음, 이 자연수에 반역해 보겠습니다.