노군의 수학 중독기

우리가 고등학교때 배운 등차수열이나 등비수열은 다 잊어도
한번쯤은 이야기로 들은 피보나치수열은 기억하는 사람은... 몇... 있을 것입니다.

----------------- 피보나치 수열의 정의 ------------------

최초의 발견은 린드란 사람이 발견한 수학서 "아메스 파피루스(혹은 린드 파피루스)"에 적힌 문제나
기원전 5세기 제작된 인도의 수학자 핑갈라가 쓴 수학책 찬다 사트라에 언급된
수열을 최초로 재설명 했다는 설이 있습니다.

여튼 피보나치는 1228년에 쓴 <산반서>란 책 2장 10설에서
토끼 이야기를 하면서 피보나치 수열의 정의를 언급하였고 그 이야기는 이렇습니다.

뭐 문제는 간단합니다. (풀이야 그렇지 않더라도)
찬찬히 하나하나 적어보겠습니다.





(1번째 달) = 1쌍
(2번째 달) = 1쌍
(3번째 달) = 2쌍
(4번째 달) = 3쌍
(5번째 달) = 5쌍

잘 보고 있으면 일정한 규칙을 찾을 수 있은데

예를 들어 보면
(3번째 달) = (1번째 달) + (2번째 달)
(4번째 달) = (2번째 달) + (3번째 달)
(5번째 달) = (3번째 달) + (4번째 달)

간단히 이야기 하자면 그 규칙은
어떤 달이 있다면 그 달의 수는
그 전달과 그 전전 달의 합과 같아집니다.

즉 간편하게 쓰자면

가 되죠.


피보나치는 이 수열을 단순히 문제에 대해서 책에 기록한 것이다
이 문제에 대한 해답은 19C 프랑스 수학자 에드워드 루카스가 오락용 책을 편집하다가
이 수열의 해답을 적고 이 수열 앞에 피보나치란 이름을 붙인 것이다.

--------------------피보나치의 수열------------------------

이같은 방법으로 계속 수를 써 내려가면 이렇습니다.

1  1  2  3  5  8  13   21   34   55   89   144   233 .........

그저 규칙이 없는 수의 배열 같지만

놀라운 수열입니다.

1. 자연이 선택한 수열
우리 인간에게 가장 큰 영감이고 가장 큰 철학의 근원은 바로 자연입니다.

그런 자연이 선택한 수열이 바로  피보나치 수열입니다.

먼저 많은 식물이 피보나치를 선택했습니다.
주변의 꽃잎을 보면 대부분의 꽃잎의 수는 3장 5장 13장등 피보나치의 수입니다.

백합(3장의 꽃받임 제외)과 붓꽃과 아이리스는 3장
패랭이, 채송화와 동백과 장미는 5장
모란, 코스모스는 8장의 꽃잎을.
금잔화와 금불초는 13장,
치커리와 애스터는 21장,
질경이와 데이지는 34장,
쑥부쟁이는 55장 혹은 89장의
꽃잎을 갖고 있습니다.
뿐만아니라 데이지와 해바라기의 씨를 보면
해바라기는 34-55-89등의 배열이며 데이지의 꽃 머리 역시 34개와 55개의 내선이 있습니다.
그리고 신기한 것이 있습니다.

그건 바로 인공적으로 개량한 종은 거의 이 법칙을 따르지 않습니다.
자연은 쉽사리 법칙에 대한 접근을 시도치 않는가 봅니다!

끝이 아닙니다. 잎차례라고 있습니다.
잎차례라는 것은 t번 회전하는 동안에 잎이 n개 나오는 것을 이야기 하는데
보통 잎차례는 t/n으로 표시 합니다.

그런데 이것은 따져보면 분자와 분모다 피보나치 수열로 나오게 되는 경우가 많습니다.
(이것을 심퍼-브라운의 법칙이라고 한다.)
예를 들면
무꽃, 벗꽃, 사과 => 2/5
장미, 배, 버드나무 = > 3/8
아몬드 => 5/13
등이 있습니다.

아마도 그 이유는 윗 잎에 햇볕이 가려지는 것을 피하기 위해

빈공간을 찾게 되고 따라서 자연스럽게
잎들이 피보나치 수열을 선택한 것으로 보고 있습니다.

그리고 나무도 마찬가지 입니다.

같은 이유인지
나무의 가치가 뻗어나가는 것 또한 피보나치 수열을 이룬다.




동물에서도 어렵지 않게 찾을 수 있습니다.
예를 들면 고동의 모양을 보면 그 또한 피보나치 수열로 만들어 진것을 알 수 있습니다.




위의 두 나선을 보면 고동이나 소라가 어떤 수열을 공부했는지 알 수 있습니다.
자연을 표현한 자연은 닮은 수열,..

바로 피보나치 수열입니다.



2. 그 자체가 아름다운 그 수열 피보나치

피보나치 수열은 그  자체로도 빛을 발합니다.

먼저
1 1 2 3 5 8 13....으로 이어지는 피보나치 수열에
앞과 뒤의 비를 보면
다시 말해
1/1,  1/2,  2/3,  5/8, 8/13........
이렇게 앞을 뒤로 나누어 보는 것입니다.

그럼 이 값이 어떤 값으로 천천히 가까워 지는데

그것은 우리가 알고 있는

그리고 그 유명한

"황금비"입니다.

황금비는 우리가 사용하는 신용 카드, A4용지, 계란의 가로와 세로의 비 등!

엄청나게 다양하게 사용되는 비율이 바로 황금비입니다.
우리는 우리도 모르게 가장 많이 쓰고 있는 비율인 것이다.

이름 자체에서 느끼듯이
우리가 느끼는 가장 아름다운 비라고 느낀다고 이야기 합니다.
즉 피보나치 수열은 그 자체에 황금비의 아룸다움을 품고 있는 것이죠.


또한 재미있는 실험을 해보면


1을 연속으로 연분수(분수속에 분수)꼴로 재미있게 만들어 보면
지금 까지 계속 이야기 했던 이야기 바로 피보나치의 수와
방금 이야기 했던 황금비율로 가는 분수들이 나오게 됩니다.

피보나치의 수 자체에 이런 재미있는 모양을 담은 유희의 수열이라 할 수 있죠.


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사실 간단한 사고로 부터 혹은 장난스런 문제로 시작한 이 수열은
지금까지도 꾸준히 연구 되고 있는 수열로
어쩜 자연이 선택하였고 인간을 아름답게할 신이 선택한 수인 것입니다.