노군의 수학 중독기

무한이란 것은 사람의 일반적인 사고로 한번에 이해하기 어려운 부분이 많습니다.
그래서 보통 무한을 바로 이야기 하기 전에는 여러가지 비유를 이야기 합니다.
그 중에서 가장 유명한 이야기가 힐베르트 호텔입니다.
그 이야기는 다음과 같습니다.

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수학자 힐베르트가 호텔을 열었습니다.
이 호텔은 방이 딱 자연수의 개수만큼 있습니다.

인기가 좋았던 탓인지 
어느날 힐베르트 호텔의 모든 호실에 손님이 들어왔습니다.


하지만 식지 않는 인기에 모든 호실에 사람이 있지만
호텔을 찾는 사람들의 줄이 끊이지 않았습니다.
욕심이 많은 힐베르트는 모든 방이 차있지만
손님을 더 받고 싶은 마음에 다음과 같이 모든 방에 방송을 합니다.  

"모든 객실의 손님께서는 다음방으로 방을 옮겨주시기 바랍니다. 1호실은 2호실로, 2호실은 3호실로, 이렇게 n호실은 n+1호실로 얼른 해주세요!"

모든 손님이 이동하자 신기하게도 1호실이 비어버렸습니다.
이에 욕심쟁이 힐베르트는 새로운 손님을 1호실에 배정할 수 있습니다.

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이러한 진기한 풍경에 모든 방에 있는 일행들은 각각 다른 일행 하나씩 불러옵니다.
그러다 보니 호텔을 찾는 인원은 2배가 되어버리는 것입니다.
이쯤되면 욕심도 버릴만하지만
힐베르트는 다시 모든 방에 방송을 합니다.

"전 호실 분들에게 다시 전파 합니다. 1호실은 2호실로 2호실은 4호실로 3호실은 6호실로 이렇게 n호실은 2n호실로 가주시기 바랍니다"

그러자 홀수방(1,3,5,7,.....2n-1,...호실)이 모두 비어버렸습니다.
욕심쟁이 힐베르트의 호텔은 끝없이 모든 경우에도 자신의 호텔에 인원을 채울 수 있었습니다.

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<해석>


자연수 개수를 보통

(알레프 0, aleph 0)라고 합니다.
위 이야기를 토대로 보자면
자연수 개수에 1을 더해도 개수는 똑같고
자연수 개수에 2를 곱해서 개수는 똑같습니다.
여기서 알 수 있는 결론과 또 다른 결과를 추가해서 이야기 하자면

입니다. 역시 수학은 이야기를 넘어서면 문제가 생기네요.
여튼 가장 세번째의 사실은 유리수와 자연수의 비교의 증명에서 쓰일 수 있습니다.

 
<힐베르트 호텔의 결론은>
무한 이란 것은 우리의 상식을 벗어난 곳이며 상식보다는
차가운 이성으로 다가가는 것이 좋다라는 것입니다.
무한은 경험할 수 없는 세계입니다.