노군의 수학 중독기

<~ 이전 (part 2. 작도가능의 확장)

이전에 글을 통해서

작도가능한 것의 한계를 알았습니다.

그 결론은 다음과 같습니다.

사람이란 어떠한 문제가 주어지면

그 문제를 해결하고 싶어 하고.
"오지랖"이라는 단어가 존재하듯이
사람들은 문제해결에 지대한 관심을 갖습니다.

게임에서도 우리는
퀘스트(어떤 임무를 수행하는 것)라는 것을 진행하는 데,
NPC(게임 속 중립 케릭터)의
머리 위에 "?"란 글자가 뜨게 되면 어떤 강한 끌림으로
여지없이 대화를 하고 임무를 받게 됩니다.

또한 재미있는 사실은
필요 없는 임무라도 일단 듣게 되면
수행하고 싶어지죠.
만약 그 퀘스트가 많은 사람이 실패했던 것이라면 어떨까요?

우리는 고대의 퀘스트를 받게 됩니다.

---------------- 퀘스트1 : 제단 부피 2배로 만들기 ----------------------

게임의 퀘스트 같은 일이
기원전 430년 경에 에개해의 델로스 섬에서 있었습니다.

델로스 섬 전경

델로스섬의 시민들이 고된 전염병에 시달리자
이를 해결하기 위해서 델로스의 아폴로 신탁에 맡기었고 그에 대한 답은 이랬습니다.

그리스 시대의 신전

이에 시민들은 제단을 2배로 만들기 위해서 제단의 각 변을 두 배로 늘렸으나
그러나 전염병이 수그러들지 않았습니다.

왜 그랬을 까요?

그 이유는 육면체의 변을 2대로 늘리면

그의 부피는 2배가 아니라 8배가 되기 때문입니다.

이에 델로스의 시민들은 이 문제를 해결하기위해 플라톤에게 질의하였습니다,

이에 플라톤의 대답은

모두가 학문을 게을리해
신의 노여움을 산 것으로 판단하고 시민들을 꾸짖었다 합니다.

그런데 그렇다고 플라톤이 결코 2배의 제단을 만들지는 않았습니다.

이 후 정육변체의 부피를 2배로 만들기 위한 문제가 나왔으나 해결되지 않았고.
흔히 이 문제를 델로스의 문제라 부르기 시작했습니다.

그거 부피만 2배인 이 문제가 왜 해결이 되지 않았을까요?

그이유는 이 제단을 늘리기 위해서 할 수 있는 일은

----------------------- 3대 작도 불가능-----------------------

델로스의 문제와 다른 2문제를 포함한 문제가
기원전 5세기부터 유래 하였습니다.

그게 바로 유클리드 기하학 내에서의 "3대 작도 불가능"문제 입니다.

특히 이 "작도"라는 것은 유클리드 기하학 그 자체라고 보면 되는데
작도의 규칙은 다음과 같습니다.

(유한개의 단계를 거치는 이유는 이전에 설명을 링크합니다. 링크-2~3 문단 참조)

눈금없는 자와 컴퍼스만으로 대부분의 알려진 문제를 해결할 수 있었습니다.
그럼에도 불구하고 고대부터 지금까지 해결하지 못한
3가지의 문제가 있습니다.
우리가 그 문제를 3대 작도 불가능이라 합니다.
그 내용은 다음과 같습니다.

<3대 작도 불가능> 1. 임의의 각을 3등분하는 직선 작도 2. 임의의 정육면체의 부피가 2배가 되는 정육면체 작도 3. 임의의 원과 넓이가 같은 정사각형 작도 그림으로 보자면 이렇습니다. 1. 각의 3등분 2. 부피 두배의 정육면체 3. 원과 넓이가 같은 정사각형

듣기에는 아주 쉬운 문제(혹은 퀘스트!)이지만 사실 아직까지도 해결되지 않았습니다.
더 정확히 말하자면
이 3가지 작도 문제는 이미 "불가능"으로 증명되었다.
다시 말하자면 "작도불가능 문제는 불가능이 맞다."다.

그 불가능을 증명하기 위해서는 작도가능하다는 말이 무엇일지 살펴볼 필요가 있습니다.

------------------------  작도 가능? ------------------------

이제부터 그 이유에 대해서 알아볼까 합니다.
사실 이 내용은 기하학임에도 불가하고

이에 대한 증명은 기하학 내부가 아니라 대수학이란 다른 수학 분야로 증명되는데
그리 쉬운 쪽에서 증명되지 않지만
차근 차근 접근 하면 어렵지 않게 다가갈 수 있습니다.

우선 작도 불가능을 섣불리 이야기하기 전에
먼저 "작도 가능"에 주목해야 할 것 입니다.

작도가능도 너무 넓은 개념이므로
"우리는 작도가 가능한 길이는 대체 어디까지일까?"로 한정하여 생각하면 됩니다.

<1번> A, B가 작도 가능하다면
A+B , A-B , AXB , A/B(B≠0)은 작도 가능이다.

먼저 직관적인 이해를 위해 아래 그림으로 엄격한 증명을 대신하겠습니다.

덧셈

뺄셈

곱셈 : 1에서 A로 그린 다음 평행한 선을 B에서 그림

나눗셈 : 반대로 B에서 A로 그린 다음 평행한 선을 1에서 그림

위의 그림을 살펴보면 어렵지 않게 증명가능합니다.
갑자기 사칙연산이 생뚱맞기는 하지만 작도가능한 수를 정하기에 아주 중요한 부분이기에 꼭 거쳐가야합니다.

그 과정을 이제 구체적으로 생각하겠습니다.

어짜피 눈금 없는 자이므로 어떤 길이를 수 1로 하면
반복되는 덧셈으로 더 많은 수를 만들어 낼 수 있다.
즉, 덧셈으로 생성되는 수(길이)는 1+1=2 1+1+1=3 같이 자연수인 길이가 작도 됩니다.

뿐만 아니라.
빼기 역시(방향성을 준다면) 가능하므로 정수인 길이가 작도 가능하며

곱하기와 나누기를 적용한다면 유리수인 길이 또한 작도가능하게 됩니다.

다시 말해서 일단은 우리에게 아주 익숙한 유리수는 전부 표현가능합니다.

(cf. 유리수란 분모가 0이 아니고 정수의 분수로 표현될 수 있는 모든 수)

다시 말해서
우리는 1이란 길이를 정하면 1/2인 길이나 99/100인 길이도

작도를 통해 그릴 수 있다는 것이다.


여기서 살짝 확장해보면.
우리는 이제 좌표 평면에 작도 가능한 점을 다 찍어보면

유리수 인 점은 다 찍을 수 있습니다.

(상당히 많은 부분을 채울 수 있습니다)

------------------------ 사칙연산 포함의 의미------------------------

사칙 연산이 포함 되었다는 것은 수학(특히 대수학)에서 엄청난 의미를 갖는데
이제 작도 가능한 점을 하나 새로 발견한다면
기존의 작도 가능했던 점들과 서로 덧셈 뺼셈 곱셈 나눗셈하여
자동적으로 많은 수의 작도 가능점을 생성하게 되는 것입니다.

그렇다면
작도 가능의 범위는 어디까지 일지 궁금해 집니다.

이렇게 많은 수를 작도 할 수 있다면
혹시 불가능 문제에 대해서 까지 작도가능이 살 수 있지 않을까?하는 생각도 듭니다.

이 질문은 다음 파트에서 이어가겠습니다.